高中数学必修二《第四章圆与方程》课件

第46讲│圆的方程第46讲圆的方程考纲要求第46讲│考纲要求1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义平面上到定点的距离等于________的点的集合称为圆，定点称为圆的________、定长称为圆的半径．2．确定圆的几何要素确定圆的几何要素是“________与半径”．3．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为________________，特别地，当圆心在原点时，方程为____________．知识梳理第46讲│知识梳理定长圆心圆心(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r24．圆的一般方程方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F0时，表示以________为圆心，为半径的圆，此时方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．5．点与圆的位置关系可知平面上的一点M(x0，y0)与圆C之间存在着下列关系：(1)dr⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔M在______；(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在______；(3)dr⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔M在______．第46讲│知识梳理－D2，－E2D2＋E2－4F2圆外圆上圆内问题思考第46讲│问题思考►问题1圆的定义和确定圆的几何要素(1)圆是到定点的距离等于定长的点的集合；()(2)确定圆的几何要素是圆的半径．()[答案](1)错(2)错[解析](1)圆是一个平面图形，必须是在平面上到定点的距离等于定长的点的集合．(2)确定圆的几何要素有两个，一个是圆心、一个是半径．第46讲│问题思考►问题2关于圆的方程(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2，不论t为什么实数都表示一个圆的方程；()(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．()[答案](1)错(2)错第46讲│问题思考[解析](1)t＝0时，方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2就表示点(a，b)，此时不表示圆．(2)由方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得x－D22＋y－E22＝D2＋E2－4F4，由此可见只有在D2＋E2－4F0时才能叫做圆的一般方程；而当D2＋E2－4F＝0时，表示点－D2，－E2；当D2＋E2－4F0时不表示任何图形．第46讲│问题思考►问题3方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.()[解析]当A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0时，方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0即为Ax2＋Ay2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得x－D2A2＋y－E2A2＝D2＋E2－4AF4A2，显然这是圆的方程；反之把圆的标准方程展开与方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0可知，后者要表示圆必须满足A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.[答案]对第46讲│问题思考►问题4已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()[解析]设圆上异于A，B的任意一点M的坐标为(x，y)，根据圆的性质MA→⊥MB→，根据平面向量知识MA→·MB→＝0，把坐标代入即是方程(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)·(y－y2)＝0.由点A，B的坐标要适合方程(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，故得以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.[答案]对要点探究►探究点1求圆的方程第46讲│要点探究例1(1)已知圆经过A(2，－3)，B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，则圆的标准方程是___________．(2)△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，则其外接圆的一般方程是____________．第46讲│要点探究[思路](1)可以使用圆的一般方程，根据圆心在直线上得到一个方程，根据两点在圆上得到两个方程，根据方程组求解系数，也可以使用圆的标准方程得方程组，也可以根据圆心必在线段AB的垂直平分线上得圆心所在的一条直线方程，这个方程与已知直线方程联立求出圆心坐标，再求出圆的半径；(2)也可以使用一般式方程、标准方程，以及通过圆心是三角形两边的垂直平分线的交点的方法求解．[答案](1)(x＋1)2＋(y＋2)2＝10(2)x2＋y2－4x－2y－20＝0第46讲│要点探究[解析](1)方法1：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则4＋－32＋2D＋E－3＋F＝0，－22＋－52＋－2D＋－5E＋F＝0，－D2－2·－E2－3＝0⇒D＝2，E＝4，F＝－5.∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0，第46讲│要点探究即(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.方法2：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则2－a2＋－3－b2＝r2，－2－a2＋－5－b2＝r2，a－2b－3＝0⇒a＝－1，b＝－2，r2＝10.∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.第46讲│要点探究方法3：圆心还在AB的中垂线上，AB的中点为(0，－4)，AB的斜率为12，故AB的中垂线方程为y＝－2x－4，与方程x－2y－3＝0联立，解得圆心的坐标为(－1，－2)，圆心到点A的距离为10，即圆的半径为10，所以所求的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.第46讲│要点探究(2)方法1：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则由题意有－D＋5E＋F＋26＝0，－2D－2E＋F＋8＝0，5D＋5E＋F＋50＝0，解得D＝－4，E＝－2，F＝－20.故所求的圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.第46讲│要点探究方法2：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则－1－a2＋5－b2＝r2，－2－a2＋－2－b2＝r2，5－a2＋5－b2＝r2，⇒a＝2，b＝1，r＝5.∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25，即x2＋y2－4x－2y－20＝0.第46讲│要点探究方法3：由题意可求得AC的中垂线方程为x＝2，BC的中垂线方程为x＋y－3＝0，∴圆心P是两中垂线的交点(2,1)，∴半径r＝|AP|＝2＋12＋1－52＝5，∴所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25，即x2＋y2－4x－2y－20＝0.第46讲│要点探究[点评]本题给出了求圆的方程的三种基本方法．如已知圆心在一条直线上，圆过另外两个点时，圆心还在两点所在直线的中垂线上，这样两直线的交点就是圆心，平面上不共线的三点有唯一确定的圆，这种条件也可以看作是确定圆的几何要素，实际上，三角形外接圆的圆心就在三边的中垂线的交点处，圆心到任意一点的距离就是圆的半径．求圆的方程的主要方法就是根据已知条件得到方程或者方程组，确定其中的系数的待定系数法，高考中一般是把直线与圆的位置关系交汇，解决圆的方程问题，看下面的变式．第46讲│要点探究变式题(1)[2010·广东卷]已知圆心在x轴上、半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是____________．(2)[2010·课标全国卷]过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为_______________．[答案](1)(x＋2)2＋y2＝2(2)(x－3)2＋y2＝2第46讲│要点探究[解析](1)根据题意，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝2(a0)，∵直线x＋y＝0与圆相切，∴|a|2＝2，得a＝－2，∴圆的方程为(x＋2)2＋y2＝2.(2)∵直线x－y－1＝0与圆切于点(2,1)，∴圆心在过切点且垂直于直线x－y－1＝0的直线上，该直线为x＋y－3＝0，∵圆过点(4,1)，(2,1)，∴圆心在这两点的垂直平分线x＝3上，圆心为(3,0)，∴圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.第46讲│要点探究►►高考命题者说【考查目标】本题考查圆的标准方程、直线和圆的位置关系，考查数形结合思想．【命制过程】本题既可以利用代数方法求圆的方程，也可以利用几何法求圆的方程，使不同能力的考生得以展示其才能．【试题评价】试题的设计概括了求解圆的方程的基本方法，使不同层次考查的水平都得以发挥，关注学生的个性差异是新课程的基本理念．(引自高等教育出版社2011年课程标准实验版的《高考理科试题分析》第58页第15题)►探究点2与圆有关的最值问题第46讲│要点探究例2在△OAB中，已知O(0,0)，A(8,0)，B(0,6)，△OAB的内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，P是圆上一点．(1)求点P到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离的最大值和最小值；(2)若S＝|PO|2＋|PA|2＋|PB|2，求S的最大值和最小值．[思路](1)转化为圆心到该直线的距离和圆的半径之间的关系；(2)把S表示为圆上点的坐标的函数，通过这个函数的最值解决．或者根据圆的方程的特点，进行三角换元，转化为三角函数的最值．第46讲│要点探究[解答]方法1：(1)圆心为(2,2)，该点到直线4x＋3y＋11＝0的距离d＝|4×2＋3×2＋11|32＋42＝255＝5，故圆上点到直线l距离的最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3.(2)设点P为(x，y)，则S＝x2＋y2＋(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＝3(x2＋y2－4x－4y)－4x＋100＝－4x＋88，而(x－2)2≤4，∴－2≤x－2≤2，即0≤x≤4，∴－16≤－4x≤0，∴72≤S≤88，即当x＝4时Smin＝72，当x＝0时Smax＝88.第46讲│要点探究方法2：(1)由于x，y满足(x－2)2＋(y－2)2＝4，根据同角三角函数关系，可以设点P的坐标为(2＋2cosθ，2＋2sinθ)(θ为参数，且0≤θ2π)，则由点到直线的距离公式可得d＝|42＋2cosθ＋32＋2sinθ＋11|42＋32＝|25＋10sinθ＋φ|5其中tanφ＝43.∴当sin(θ＋φ)＝1时，dmax＝7；当sin(θ＋φ)＝－1时，dmin＝3.第46讲│要点探究(2)由P(2＋2cosθ，2＋2sinθ)得S＝|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(2＋2cosθ)2＋(2＋2sinθ)2＋(2＋2cosθ)2＋(2＋2sinθ－6)2＋(2＋2cosθ－8)2＋(2＋2sinθ)2＝80－8cosθ，∴当cosθ＝1时Smin＝72；当cosθ＝－1时Smax＝88.第46讲│要点探究[点评]圆的方程非常适合进行三角换元，三角换元后的x，y分别用一个角的正弦和余弦表示，这实际上就是圆的参数方程，虽然新课标在《必修2》中没有圆的参数方程，但在《选修4－4》中有要求，它非常有利于问题的解决．圆中的最值问题可以从几何意义和建立函数关系两个方面进行考虑，见下面的变式．第46讲│要点探究变式题实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值：(1)yx－4；(2)3x－4y；(3)x2＋y2.[解答](1)方法一：令yx－4＝k，则kx－y－4k＝0，∵x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，所以圆心(－1,2)到直线kx－y－4k＝0的距离不大于圆的半径2，即|2＋5k|k2＋1≤2，解得－2021≤k≤0，第46讲│要点探究∴yx－4的最大值为0，最小值为－2021.方法二：令yx－4＝k，则y＝k(x－4)代入圆的方程，整理得(1＋k2)x2＋(2－4k－8k2)x＋16k2＋16k＋1＝0，∵此方程有实数根，∴Δ＝(2－4k－8k2)2－4(1＋k2)(16k2＋16k