高中数学必修四第一章知识点梳理-1

高中数学必修四第一章知识点梳理一、角的概念的推广●任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。●正角、负角、零角按逆时针方向旋转成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。●象限角、轴线角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。●终边相同角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β|β=α+k360°,k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。二、弧度制●角度定义制规定周角的3601为一度的角，记做1°，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。●弧度制定义1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度记做1rad。2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角α，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角α有关的常数，故可以取为度量标准。●弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是rl||α。α的正负由角α的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。三、任意角的三角函数●任意角的三角函数的定义设α是一个任意大小的角，α的终边上任意点P的坐标是（x,y），它与原点的距离r（220rxy），那么1、比值yr叫做α的正弦，记做sin，即sinyr。2、比值xr叫做α的余弦，记做cos，即cosxr。3、比值yx叫做α的正切，记做tan，即tanyx。另外，我们把比值xy叫做α的余切，记做cot，即cotxy；把比值rx叫做α的正割，记做sec，即secrx；把比值ry叫做α的余割，记做csc，即cscry。对于一个确定的角α，上述的比值是唯一确定的，它们都可以看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数。●诱导公式一终边相同角的同一个三角函数的值相等。sin(2)sink，cos(2)cosk，tan(2)tank，以上k∈Z。利用此公式，可以把球求任意角的三角函数值化为求0到2π角的三角函数值。●正弦线、余弦线、正切线1、如图所示，设任意角α的终边与单位圆交于点P（x,y），那么sin1yyyr，cos1xxxr。过点P（x,y）作PM⊥x轴于M，我们把线段MP，OM都看做规定了方向的有向线段：当MP的方向与y轴的正方向一致时，MP是正的；当MP的方向与y轴的负方向一致时，MP是负的。因此，有向线段MP的符号与点P纵坐标的符号总是一致的，且|MP|=|y|，即总有MP=y。同理也有OM=x成立。从而sinyMP，cosxOM。我们把单位圆中规定了方向的线段MP，OM分别叫做角α的正弦线、余弦线。2、如图所示，过A（1,0）作x轴的垂线，交α的终边OP的延长线（当α为第一、四象限角时）或这条终边的反向延长线（当α为第二、三象限角时）于点T，借助于有向线段OA，AT，我们有tanyATATxOA。于是，我们把规定了方向的线段AT叫做α的正切线。特别地，当α的终边在x轴上时，点A与点T重合，tan0AT；当α的终边落在y轴上时，OP与垂线平行，正切线不存在。四、同角三角函数的基本关系●同角三角函数的基本关系xyoPMxyPMTAO根据三角函数的定义，可以推导出同角三角函数间的基本关系。由三角函数定义有sinyr，cosxr，tanyx。①222222222sincos()()1yxxyrrrrr，即22sincos1。②当()2kkZ时，sintan(,)cos2kkZ，即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于α角的正切（其中,2kkZ）。●关于公式22sincos1的深化21sinsincos；1sinsincos；1sinsincos22如：1sin8sin4cos4sin4cos4；1sin8sin4cos4五、正弦、余弦的诱导公式●诱导公式二sin()sin，cos()cos，tan()tan。●诱导公式三sin()sin，cos()cos，tan()tan。●诱导公式四sin()sin，cos()cos，tan()tan。以上几个诱导公式可以叙述为：对于2()kkZ，则，的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号。也可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”。●诱导公式五sincos2，cossin2。●诱导公式六sincos2，cossin2。可以概括为：2的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。也可以简单地说成“函数名改变，符号看象限”。六、两角和与差的正弦、余弦、正切●两角和的正弦、余弦、正切sinsincoscossin，coscoscossinsin，tantantan1tantan。●两角差的正弦、余弦、正切sinsincoscossin，coscoscossinsin，tantantan1tantan。此处公式较多，可熟记两角和的三个公式，两角的差可以看做()，进行推导。●积化和差公式1sincos[sin()sin()]2，1cossin[sin()sin()]2，1coscos[cos()cos()]2，1sinsin[cos()cos()]2。●和差化积公式sinsin2sincos22，sinsin2cossin22，coscos2coscos22，coscos2sinsin22。课后练习题1.将－300o化为弧度为（）A．－43；B．－53；C．－76；D．－74；2.如果点)cos2,cos(sinP位于第三象限，那么角所在象限是（）Ａ.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．下列选项中叙述正确的是（）A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．锐角是第一象限的角C．第二象限的角比第一象限的角大D．终边不同的角同一三角函数值不相等4．下列函数中为偶函数的是（）A．sin||yxB．2sinyxC．sinyxD．sin1yx5.)2cos()2sin(21等于（）A．sin2－cos2B．cos2－sin2C．±（sin2－cos2）D．sin2+cos26．若角的终边落在直线y=2x上，则sin的值为（）A.15B.55C.255D.127.若点P在角的终边的反向延长线上，且1OP，则点P的坐标为（）)(A);sin,cos()(B);sin,(cos)(C);sin,(cos)(D);sin,cos(8.已知角的终边经过点0p（-3，-4），则)2cos(的值为（）A.54B.53C.54D.533.已知、是第二象限的角，且coscos，则（）A.;B.sinsin；C.tantan；D.以上都不对9.已知角α的终边经过点P(3，3)，则与α终边相同的角的集合是______10.已知角终边上一点P（－4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(的值。