一次函数专题一

培优专题二一次函数知识点1一次函数和正比例函数的概念形如（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当时，称y是x的正比例函数【说明】一次函数的自变量的取值范围是，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.知识点2正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象是，必经过；（2）当k＞0时，图象经过第象限,y随x的增大而；（3）当k＜0时，图象经过第象限,y随x的增大而．知识点3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是．由于确定一条直线，作一次函数图象时，只要描出适合关系式的点，再连成直线即可，一般选取特殊点：直线与y轴的交点（，），直线与x轴的交点（，）.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（，），（，）即可.知识点4一次函数y=kx+b的性质（1）k的正负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，从左到右直线，y的值随x值的增大而；②k＜O时，从左到右直线，y的值随x值的增大而.（2）|k|大小决定直线的倾斜程度:|k|越大，直线的倾斜，与x轴相交的锐角度数越大（直线陡）；|k|越小，直线的倾斜，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于半轴上；③当b=0时，直线经过，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；①当k＞0，b＞0时，直线经过第象限（直线不经过第象限）；②当k＞0，b﹥O时，直线经过第象限（直线不经过第象限）；③当k﹤O，b＞0时，直线经过第象限（直线不经过第象限）；④当k﹤O，b﹤O时，直线经过第象限（直线不经过第象限）．（5）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置关系．①k1≠k2y1与y2相交；②2121bbkky1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；③2121,bbkky1与y2平行；④2121,bbkky1与y2重合；（6）从平移的角度分析，例如：直线y=kx＋b可以看作是正比例函数y=kx平移得到的．知识点5点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=kx+b，即x=1时，y=2，即k+b=2，则点P（1，2）在直线y=kx+b的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=kx+b，因为当x=2时，y≠1，所以点P′（2，1）不在直线y=kx+b的图象上．知识点6确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）正比例函数y=kx只有一个待定系数k，故只需一个条件（如对x，y的值或个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这个条件通常是个点或对x，y的值．知识点7待定系数法用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．例1已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值．例2若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1﹤x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m﹤OB．m＞0C．m﹤21D．m＞M例2某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．（1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求5年后的产值．例3已知一次函数y=kx+b的图象如图11－22所示，求函数表达式．例4已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．例5已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？（4）k为何值时，y随x的增大而减小？．例6判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．例7某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？例8已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y的值为9；当x=2时，y的值为-3．（1）求这个函数的解析式。（2）在直角坐标系内画出这个函数的图象．例9如图11－27所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数，下表是测得的指距与身高的一组数据．指距d/cm20212223身高h/cm160169178187（1）求出h与d之间的函数关系式；（不要求写出自变量d的取值范围）（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？例10.某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县．已知C，D两县运化肥到A，B两县的运费（元／吨）如下表所示．（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．例112017年夏天，某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，图11－29是某水库的蓄水量V（万米2）与干旱持续时间t（天）之问的关系图，请根据此图回答下列问题．（1）该水库原蓄水量为多少万米2？持续干旱10天后．水库蓄水量为多少万米3？（2）若水库存的蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？例12图11－30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题．（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？（2）这次比赛全程是多少千米？（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？例13如图11－31所示，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式．