传感器与自动检测技术22PPT

2.2随机误差及其处理随机误差的正态分布由概率论的中心极限定理可知：大量的、微小的及独立的随机变量之总和服从正态分布。大多数随机误差服从正态分布，其应用范围包括各种物理、机械、电气、化学等特性分布例如：铝合金板抗拉强度，电容器电容变化、噪声发声器输出电压但在实际中，各种非正态分布也很多，故对随机误差一般将其按下述方法给予描述。2.2随机误差及其处理1.随机误差的正态分布规律0ixxx()fx实践和理论证明，大量的随机误差服从正态分布规律。正态分布的曲线如图所示。图中的横坐标表示随机误差，纵坐标为误差的概率密度。应用概率论方法可导出随机误差的正态分布曲线2211()exp[]22xfxσ特征量2()ixnnσ标准差n为测量次数值得注意的是，通常所说随机误差服从正态分布是从统计角度而言的，也就是针对测量次数极大而测量分辨率又极高的情况而言。2.2随机误差及其处理真实值与算术平均值设对某一物理量进行直接多次测量，测量值分别为下x1,x2,x3,x4…,xn,各次测量值的随机误差为。将随机误差相加0iixxx00111()nnniiiiiixxxxnx两边同除n得01111nniiiixxxnn用代表测量列的算术平均值x12111()nniixxxxxnn011niixxxn2.2随机误差及其处理根据随机误差的抵偿特征，即11lim0ninixn于是0xx可见，当测量次数很多时，算术平均值趋于真实值，也就是说，算术平均值受随机误差影响比单次测量小。且测量次数越多，影响越小。因此可以用多次测量的算术平均值代替真实值，并称为最可信数值。2.2随机误差及其处理随机误差的标准差标准差σ定义为201()niixxn它是一定测量条件下随机误差最常用的估计值。在服从正态分布的情况下，随机误差落在(－σ，＋σ)区间的概率为68.3%。区间(－σ，＋σ)称为置信区间，相应的概率称为置信概率。显然，置信区间扩大，则置信概率提高。置信区间取(－2σ，＋2σ)、(－3σ，＋3σ)时，相应的置信概率P(2σ)=95.4%,P(3σ)=99.7.2.2随机误差及其处理如图是不同σ值时的曲线。σ值越小，曲线陡且峰值高，说明测量值的随机误差集中，小误差占优势，各测量值的分散性小，重复性好。反之，σ值越大，曲线较平坦，各测量值的分散性大，重复性差。()fx()fx不同σ的概率密度曲线2.2随机误差及其处理代替误差来估算有限次测量中的标准差，得到的结果就是单次测量的标准差，用表示，它只是σ的一个估算值。由误差理论可知单次测量的标准差的计算式为iixxixˆ211()ˆ11nniiiixxnn这一公式称为贝塞尔公式。2)单次测量值的标准差的估计由于真值未知时，随机误差不可求，可用各次测量值与算术平均值之差——剩余误差ixiixx2.2随机误差及其处理实验数据分析中，常常采用去偏差并归一化的前处理方法，即设标准单位利用标准正态分布进行分析考察，如式下表给出了标准正态分布的一些与的代表数值。mxt1,0N2exp212ttfyttf1,0N正态分布的概率密度和置信概率的数值表T或z0.000.500.67450.79791.001.962.003.00概率密度tf0.39890.35210.31770.29010.24200.05840.0540.00440.00置信概率zf0.00000.38290.50000.57510.68270.95000.95450.99731.00002.2随机误差及其处理实验数据分析中，常常采用去偏差并归一化的前处理方法，即设标准单位利用标准正态分布进行分析考察，如式下表给出了标准正态分布的一些与的代表数值。mxt1,0N2exp212ttfyttf1,0N正态分布的概率密度和置信概率的数值表T或z0.000.500.67450.79791.001.962.003.00概率密度tf0.39890.35210.31770.29010.24200.05840.0540.00440.00置信概率zf0.00000.38290.50000.57510.68270.95000.95450.99731.00002.2随机误差及其处理在研究随机误差的统计规律时，不仅要知道随机变量在哪个范围内取值，而且要知道在该范围内取值的概率，两者是相互关连的。置信区间：定义为随机变量取值的范围，常用正态分布的标准误差的倍数来表示，即，其中为置信系数。置信概率：随机变量在置信区间内取值的概率，即置信水平：表示随机变量在置信区间以外取值的概率，即zzzfzxzzdxedxxfzxpz022222fzxpzz12.2随机误差及其处理置信系数取不同典型值时，正态分布的置信概率数值如表2.1所示。由此可知，置信系数越大，置信区间越宽，置信概率越大，随机误差的范围也越大，对测量精度的要求越低。在实际测量中，如有95%的置信概率时，其可靠性已经足够了，此时的置信区间是，置信水平为5%。（2）随机误差的非正态分布随机误差的概率分布有多种类型，除正态分布外，在计量和测量中经常遇到的非正态分布有均匀分布、分布等。1）均匀分布均匀分布特点是：在某一区域内，随机误差出现的概率处处相等，而在该区域外随机误差出现的概率为零。均匀分布的概率密度函数为：2t2.2随机误差及其处理式中——随机误差的极限值。均匀分布是一种常见的误差分布，如图2.4所示。例如，仪器刻度差引起的误差，仪器最小分辨率限制引起的误差，数字仪表的量化误差（），数字计算中的舍入误差等等。此外，对一些只知道误差出现的大致范围，而不知道其分布规律的误差，在处理时常按均匀分布的误差对待。aaaa021a12.2随机误差及其处理图2.4均匀分布曲线faaa2102.2随机误差及其处理2）分布分布主要用来处理小样本（即测量数据比较少）的测量数据。正态分布理论只适合于大样本的测量数据，而对小样本的测量数据通常采用分布理论来处理。分布的概率密度函数为：式中——的估计值；——测得值的平均值；N——测量次数；——=N-1称为自由度；——是伽马函数。ttttNmxtftfffftNfˆ1222,22ˆxffx01dtetxtx2.2随机误差及其处理分布的概率密度曲线如下图所示，它与标准正态分布的图形相似，其特点在于分布与标准差的估计值无关，但与自由度N-1有关。当N较大（大于30）时，分布和正态分布的差异就很小了，当时，两者就完全相同。Nttt图2.5分布曲线分布曲线2.2随机误差及其处理根据分布置信系数列表，当测量数据较少时，由给定的置信概率P和自由度，可查表得出分布置信系数，再根据小样本数据的和值，可确定被测量真值的置信区间，即式中——小样本数据均值的极限误差或随机不确定度。tkftxˆmNkxmtˆNktˆt2.2随机误差及其处理（1）随机误差的表示方法由前面分析可知，在一定的置信概率P下，真值一定落在以测得值为中心，以误差限为区间的一个范围内，即式中由于所取置信概率不同，以及表示误差的习惯差异，误差有各种表示方法，但以下面两种情况最为常见。mxkkxmNmxNii122.2随机误差及其处理1)标准偏差标准偏差所对应的置信度P=68.3%，置信系数，即真值处于范围内的可信程度为68.3%。从正态分布曲线的几何图形上看，当处正好是曲线的拐点，也即当以后，概率密度变化比较慢，这就是选用标准差作为误差限的理由之一。2)极限偏差当置信系数时，置信度P=99.73%，故可以认为真值落在范围内的概率已接近100%。因此，在工程测试中常以这个参数来表示测量精度，称为极限误差或最大误差，用表示，即值得提醒的是，对于不同学科，不同测量对象和测量的目的而言，极限误差所取的置信系数是不同的。例如，在某些与人身事故有直接关系的场合，；而在一般工程和贸易中，；在统计学中，mixmxmx3k33m3m4k96.1k58.2k2.2随机误差及其处理（2）真值的估计与标准偏差测量的主要任务是求得被测量的真值，前面介绍了真值是对同一检测量在同样条件下进行无限多次测量所取得的测量平均值。由于实际测量中的测量次数是有限的，所以测量平均值并不等于真值。那么，如何估计测量平均值的正态分布情况。当每个测量结果按正态分布时，一组测量数据的平均值为：其期望值恰好就是真值，即由于也属于正态分布，因此可以用的标准偏差来表征测量结果的离散度。ix2,mNNxxx,,,21NNiixxxNxNx21111mmmNxENxENiNii1111xx2.2随机误差及其处理由其标准偏差为：此式表明，子样平均值的方差并不等于母体方差，而只是它的N分之一。由这一结论可推论到等精度测量条件下，多批次测量（即分组多次测量）所获得的平均值（也即分组平均值的平均值）要比单批次测量所获得的结果精确，而且测量次数越多，越小，越向母体真值集中，即用作为的最佳估计值的离散度越小。然而，由于与成反比，随着测量次数增加，值的减小逐渐不显著了，故并非N越大越好。NNNxDNxNDxDNiiNiix2221212111Nx2x2ixmmixixxNx2.2随机误差及其处理（3）标准偏差的估计因为数学平均值就是真值的无偏估计，即当时，。为了求得标准偏差的无偏估计，需要先考虑残差平方和S则S的期望值为：即mNmx21212221212122mxNmxmxmxmxmxmxmxxxvSNiiNiiiNiiNiiNiix2222122121NNNNmxNEmxEmxNmxESENiiNii21NSE2.2随机误差及其处理所以，方差的无偏估计为：无偏标准偏差为：将公式代入可得数据平均值的方差的无偏估计值，即平均值的标准偏差的无偏估计值为：应当注意的是，测量数据的方差为：它不是母体方差的无偏估计值。因为无偏方差的计算中没有用真值，而用的是平均值，因此自由度减少了一个。11ˆ122NSNvNii11ˆ12NvNSNii2x11ˆ122NNSNNvNiixNSNvsNii122xˆ1ˆNNSx