2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第5章 第3节 等比数列及其前n项和

第五章数列第三节等比数列及其前n项和第五章数列[主干知识梳理]一、等比数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．2同一个常数公比第五章数列2．等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒.GG2＝ab第五章数列二、等比数列的有关公式1．通项公式：an＝．2．前n项和公式：Sn＝，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.a1qn－1na1第五章数列三、等比数列{an}的常用性质1．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….2．在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列，公比为qk；数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时q≠－1)；an＝amqn－m.第五章数列[基础自测自评]1．(教材习题改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于()A．4B．8C．16D．32C[a2·a6＝a24＝16.]第五章数列2．(2013·江西高考)等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24A[由题意得：(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或－1.当x＝－1时，3x＋3＝0，不满足题意．当x＝－3时，原数列是等比数列，前三项为－3，－6，－12，故第四项为－24.]第五章数列3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()A．64B．81C．128D．243A[q＝a2＋a3a1＋a2＝2，故a1＋a1q＝3⇒a1＝1，a7＝1×27－1＝64.]第五章数列4．(2013·北京高考)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝__________；前n项和Sn＝__________．解析根据等比数列的性质知a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴q＝2，又a2＋a4＝a1q＋a1q3，故求得a1＝2，∴Sn＝2（1－2n）1－2＝2n＋1－2.答案22n＋1－2第五章数列5．(2012·新课标全国卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________．解析∵S3＋3S2＝0，∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，∴a1(4＋4q＋q2)＝0.∵a1≠0，∴q＝－2.答案－2第五章数列[关键要点点拨]1．等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．(2)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.第五章数列2．等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．第五章数列[典题导入]已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．等比数列的判定与证明第五章数列[听课记录](1)证明：∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴an＋1－1an－1＝12.∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，第五章数列∴a1＝12，c1＝－12.又cn＝an－1，故{cn}是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，∴an＝cn＋1＝1－12n.第五章数列[互动探究]在本例条件下，若数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，证明{bn}是等比数列．证明∵由(2)知an＝1－12n，∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n.又b1＝a1＝12也符合上式，∴bn＝12n.∵bn＋1bn＝12，∴数列{bn}是等比数列．第五章数列[规律方法]等比数列的判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．第五章数列[跟踪训练]1．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．解析(1)证明：b1＝a2－a1＝1.当n≥2时，bn＝an＋1－an＝an－1＋an2－an＝－12(an－an－1)＝－12bn－1，故{bn}是以1为首项，－12为公比的等比数列．第五章数列(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝－12n－1，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋－12＋…＋－12n－2＝1＋1－－12n－11－－12＝1＋231－－12n－1＝53－23－12n－1.第五章数列当n＝1时，53－23－121－1＝1＝a1，故an＝53－23－12n－1(n∈N*)．第五章数列[典题导入](理)(2013·湖南高考)已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得1a1＋1a2＋…＋1am≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．等比数列的基本运算第五章数列[听课记录](1)设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得a31q3＝125，|a1q－a1q2|＝10，解得a1＝53，q＝3，或a1＝－5，q＝－1.故an＝53·3n－1，或an＝－5·(－1)n－1.第五章数列(2)若an＝53·3n－1，则1an＝35·(13)n－1，故{1an}是首项为35，公比为13的等比数列，从而n＝1m1an＝35·[1－（13）m]1－13＝910·[1－(13)m]＜910＜1.若an＝－5·(－1)n－1，则1an＝－15(－1)n－1，第五章数列故{1an}是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而n＝1m1an＝－15，m＝2k－1（k∈N*），0，m＝2k（k∈N*）故n＝1m1an＜1.综上，对任何正整数m，总有n＝1m1an＜1.故不存在正整数m，使得1a1＋1a2＋…＋1am≥1成立．第五章数列(文)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，再令an＝lgTn，n≥1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝tanan·tanan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.第五章数列[听课记录](1)设t1，t2，…，tn＋2构成等比数列，其中t1＝1，tn＋2＝100，则Tn＝t1·t2·…·tn＋1·tn＋2，①Tn＝tn＋2·tn＋1·…·t2·t1，②①×②并利用titn＋3－i＝t1tn＋2＝102(1≤i≤n＋2)，得T2n＝(t1tn＋2)·(t2tn＋1)·…·(tn＋1t2)·(tn＋2t1)＝102(n＋2)，∴an＝lgTn＝n＋2，n≥1.第五章数列(2)由题意及(1)中计算结果，知bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1.另一方面，利用tan1＝tan((k＋1)－k)＝tan（k＋1）－tank1＋tan（k＋1）·tank，得tan(k＋1)·tank＝tan（k＋1）－tanktan1－1.第五章数列第五章数列[规律方法]1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．第五章数列[跟踪训练]2．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{3an}的前n项和．第五章数列解析(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)．因为a2，a4，a8成等比数列，所以(2＋3d)2＝(2＋d)·(2＋7d)，解得d＝2.所以an＝2n(n∈N*)．(2)由(1)知3an＝32n，设数列{3an}的前n项和为Sn，则Sn＝32＋34＋…＋32n＝9（1－9n）1－9＝98(9n－1)．第五章数列[典题导入](1)(2014·北京朝阳一模)已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和，若a1＝3，a2a4＝144，则S5的值是()A.B．69C．93D．189等比数列的性质第五章数列[听课记录]由a2a4＝a23＝144得a3＝12(a3＝－12舍去)，又a1＝3，各项均为正数，则q＝2.所以S5＝a1（1－q5）1－q＝3×（1－32）1－2＝93.答案C第五章数列(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于()A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．1∶3第五章数列[听课记录]由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝12S3代入得S9S3＝34.答案C第五章数列[规律方法]等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an＝f(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算．第五章数列[跟踪训练]3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7D[解法一：由题意得a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，a5a6＝a1q4×a1q5＝a21q9＝－8，解得q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，故a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.第五章数列解法二：由a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8，解得a4＝－2，a7＝4或a4＝4，a7＝－2.则q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，故a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.]第五章数列(2)(2014·上海徐汇模拟)在等比数列{an}中，an＞0，若a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为__________．解析由已知a1a2·…·a7a8＝(a4a5)4＝16，所以a4a5＝2，又a4＋a5≥2a4a5＝22(当且仅当a4＝a5＝2时取等号)．所以a4＋a5的最小值为22.答案22第五章数列【创新探究】分类讨论思想在等比数列中的应用(2012·北京高考)已知