2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第7章 第4节 直线、平面平行的判定及性质

第七章立体几何第四节直线、平面平行的判定及性质第七章立体几何[主干知识梳理]一、直线与平面平行1．判定定理第七章立体几何2.性质定理第七章立体几何二、平面与平面平行1．判定定理第七章立体几何2.两平面平行的性质定理第七章立体几何[基础自测自评]1．(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面第七章立体几何D[由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确．]第七章立体几何2．(2014·宁波十校联考)若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α第七章立体几何D[对于选项A，m、n可以平行、相交、异面；对于选项B，m与n相交时，才是真命题；对于选项C，m与β可以平行、垂直，m也可以包含于β，故选D.]第七章立体几何3．(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交且不垂直D．l∥α或l⊂α第七章立体几何D[由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，l⊂α时也成立．]第七章立体几何4．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是________．解析由α∥β可知，a，b的位置关系是平行或异面．答案平行或异面第七章立体几何5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．解析如图．连接AC，BD交于O点，连接OE，第七章立体几何因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案平行第七章立体几何[关键要点点拨]第七章立体几何2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．3．辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用．第七章立体几何[典题导入](2013·新课标全国Ⅱ高考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．直线与平面平行的判定与性质第七章立体几何[听课记录](1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.第七章立体几何(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22得∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝13×12×6×3×2＝1.第七章立体几何[规律方法]利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．第七章立体几何[跟踪训练]1．(2014·潍坊一模)如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，设AD中点为P.第七章立体几何(1)当E为BC中点时，求证：CP∥平面ABEF；(2)设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥A－CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．解析(1)证明：取AF的中点Q，连接QE、QP，则QP綊12DF，又DF＝4，EC＝2，且DF∥EC，所以QP綊EC，第七章立体几何即四边形PQEC为平行四边形，所以CP∥EQ，又EQ⊂平面ABEF，CP⊄平面ABEF，故CP∥平面ABEF.第七章立体几何(2)因为平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，又AF⊥EF，所以AF⊥平面EFDC.由已知BE＝x，所以AF＝x(x≤4)，FD＝6－x，故VA－CDF＝13×12×2×(6－x)x＝13(6x－x2)＝13[－(x－3)2＋9]＝－13(x－3)2＋3.所以，当x＝3时，VA－CDF有最大值，最大值为3.第七章立体几何[典题导入]如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF.[听课记录]∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE，∴BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF.平面与平面平行的判定与性质第七章立体几何又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1，又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.第七章立体几何[互动探究]将本例条件变为E，F，G满足“DF∶D1F＝1∶2，DG∶DA＝1∶3，BE∶BB1＝2∶3”，求证：平面AD1E∥平面BGF.证明∵D1F∶DD1＝2∶3，BE∶BB1＝2∶3，DD1＝BB1，∴D1F＝BE.又D1F∥BE，∴四边形D1FBE为平行四边形，∴D1E∥BF.又DG∶GA＝1∶2，DF∶FD1＝1∶2，∴GF∥AD1.又AD1∩D1E＝D1，GF∩BF＝F，∴平面AD1E∥平面GFB.第七章立体几何[规律方法]常用的判断面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．第七章立体几何[跟踪训练]2．如图，平面四边形ABCD的4个顶点都在球O的表面上，AB为球O的直径，P为球面上一点，且PO⊥平面ABCD，BC＝CD＝DA＝2，点M为PA的中点．第七章立体几何(1)证明：平面PBC∥平面ODM；(2)求点A到平面PBC的距离．解析(1)证明：AB为圆O直径BC＝CD＝DA⇒CD＝OB且AB∥CD，第七章立体几何则CD平行且等于BO，即四边形OBCD为平行四边形，所以BC∥OD.AO＝BOAM＝PM⇒OM∥PBBC∥OD⇒OD∥平面PBCOM∥平面PBC⇒平面ODM∥平面PBC.第七章立体几何(2)由图可知VP－ABC＝VA－PBC，设点A到平面PBC的距离为h，则有13×12×2×23×2＝13×12×2×7×h，则h＝4217，即点A到平面PBC的距离为4217.第七章立体几何[典题导入](2014·青岛二模)如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点．现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列两问：立体几何中的探索性问题第七章立体几何(1)在线段AB上是否存在一点K，使BC∥平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；(2)若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE.第七章立体几何[听课记录](1)线段AB上存在一点K，且当AK＝14AB时，BC∥平面DFK.证明如下：设H为AB的中点，连接EH，则BC∥EH.如图所示第七章立体几何又因为AK＝14AB，F为AE的中点，所以KF∥EH，所以KF∥BC，∵KF⊂平面DFK，BC⊄平面DFK，∴BC∥平面DFK.第七章立体几何(2)证明：因为F为AE的中点，DA＝DE＝1，所以DF⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE，所以DF⊥平面ABCE.因为BE⊂平面ABCE，所以DF⊥BE.第七章立体几何又因为在折起前的图形中E为CD的中点，AB＝2，BC＝1，所以在折起后的图形中AE＝BE＝2，从而AE2＋BE2＝4＝AB2，所以AE⊥BE.因为AE∩DF＝F，所以BE⊥平面ADE，因为BE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ADE.第七章立体几何[规律方法]立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．第七章立体几何[跟踪训练]3．(2014·淄博一模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，P为DN的中点．(1)求证：BD⊥MC；(2)在线段AB上是否存在点E，使得AP∥平面NEC？若存在，说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．第七章立体几何解析：(1)证明：连接AC，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，所以AM⊥平面ABCD，第七章立体几何因为BD⊂平面ABCD，所以AM⊥BD，因为AC∩AM＝A，所以BD⊥平面MAC.又MC⊂平面MAC，所以BD⊥MC.第七章立体几何(2)当E为AB的中点时，有AP∥平面NEC.证明如下：取NC的中点S，连接PS，SE.因为PS∥DC∥AE，PS＝AE＝12DC，所以四边形APSE是平行四边形，所以AP∥SE.又SE⊂平面NEC，AP⊄平面NEC，所以AP∥平面NEC.第七章立体几何【创新探究】证明过程推理不严密而失分(2012·高考山东卷)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.第七章立体几何【思路导析】(1)作辅助线，证明△BED为等腰三角形；(2)可以先证面面平行，再得线面平行，也可直接在平面BEC内作出与DM平行的直线，证明线线平行．【证明】(1)如图(1)，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，第七章立体几何因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)解法一：如图(2)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，第七章立体几何BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.第七章立体几何又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.第七章立体几何解法二：如图(3)，延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，第七章立体几何所以AB＝12AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由点M是线段AE的中点，得DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.第七章立体几何【高手支招】立体几何解答题解题过程要表达准确、格式要符合要求．每步推理要有根有据．计算题要有明确的计算过程，不可跨度太大，以免漏掉得分点．引入数据要明确、要写明已知、设等字样，养成良好的书写习惯．第七章立体几何[体验高考]1．(2013·陕西高考)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面A