专题03-导数及其应用(选择题、填空题)-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编(解析

1专题03导数及其应用（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为A．10xyB．2210xyC．2210xyD．10xy【答案】C【解析】2cossin,yxxπ2cosπsinπ2,xy则2sincosyxx在点(,1)处的切线方程为(1)2()yx，即2210xy．故选C．【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A．e1ab，B．a=e，b=1C．1e1ab，D．1ea，1b【答案】D【解析】∵eln1,xyax∴切线的斜率1|e12xkya，1ea，将(1,1)代入2yxb，得21,1bb.故选D．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.3．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数32()(1)fxxaxax.若()fx为奇函数，则曲线()yfx在点(0,0)处的切线方程为A．2yxB．yx2C．2yxD．yx【答案】D【解析】因为函数𝑓(𝑥)是奇函数，所以𝑎−1=0，解得𝑎=1，所以𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑥，𝑓′(𝑥)=3𝑥2+1，所以𝑓′(0)=1,𝑓(0)=0，所以曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(0,0)处的切线方程为𝑦−𝑓(0)=𝑓′(0)𝑥，化简可得𝑦=𝑥.故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线𝑦=𝑓(𝑥)在某个点(𝑥0,𝑓(𝑥0))处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得𝑓′(𝑥)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.4．【2017年高考浙江】函数y=f(x)的导函数()yfx的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x位于增区间内，因此选D．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x轴的交点为0x，且图象在0x两侧附近连续分布于x轴上下方，则0x为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()fx的正负，得出原函数()fx的单调区间．5．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】函数2eexxfxx的图像大致为3【答案】B【解析】2ee0,,xxxfxfxfxx为奇函数，舍去A；11ee0f，∴舍去D；243eeee22e2e,xxxxxxxxxxfxxx2x时，0fx，()fx单调递增，舍去C.因此选B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性.6．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数422yxx的图像大致为4【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A，B；令42()2yfxxx，则32()422(21)fxxxxx，由()0fx得22(21)0xx，得22x或202x，此时函数单调递增，由()0fx得22(21)0xx，得22x或202x，此时函数单调递减，排除C.故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.7．【2017年高考山东文数】若函数e()xfx（e2.71828是自然对数的底数）在()fx的定义域上单调递增，则称函数()fx具有M性质.下列函数中具有M性质的是A．()2xfxB．2()fxxC．()3xfxD．()cosfxx【答案】A【解析】对于A，ee()e2()2xxxxfx在R上单调递增，故()2xfx具有性质；对于B，2e()exxfxx，令2()exgxx，则2()e2ee(2)xxxgxxxxx，∴当2x或0x时，()0gx，当20x时，()0gx，∴2e()exxfxx在(,2)，(0,)上单调递增，在(2,0)上单调递减，故2()fxx不具有性质；对于C，ee()e3()3xxxxfx在R上单调递减，故()3xfx不具有性质；对于D，易知()cosfxx在定义域内有增有减，故()cosfxx不具有性质．故选A.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向，它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．58．【2019年高考浙江】已知,abR，函数32,0()11(1),032xxfxxaxaxx．若函数()yfxaxb恰有3个零点，则A．a–1，b0B．a–1，b0C．a–1，b0D．a–1，b0【答案】C【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=𝑏1−𝑎，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3−12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3−12（a+1）x2﹣b，2(1)yxax，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；当a+1＞0，即a﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴𝑏1−𝑎＜0且{−𝑏＞013(𝑎+1)3−12(𝑎+1)(𝑎+1)2−𝑏＜0，解得b＜0，1﹣a＞0，b＞−16（a+1）3，则a–1，b0.6故选C．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3−12（a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．9．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()exyxx在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30xy【解析】223(21)e3()e3(31)e,xxxyxxxxx所以切线的斜率0|3xky，则曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为3yx，即30xy．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．10．【2019年高考天津文数】曲线cos2xyx在点(0,1)处的切线方程为__________.【答案】220xy【解析】∵1sin2yx，∴01|sin0212xy，故所求的切线方程为112yx，即220xy.【名师点睛】曲线切线方程的求法：（1）以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．（2）如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组0010010()()yfxyyfxxx得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．11．【2018年高考天津文数】已知函数f(x)=exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′（1）的值为__________．7【答案】e【解析】由函数的解析式可得𝑓′(𝑥)=e𝑥×ln𝑥+e𝑥×1𝑥=e𝑥(ln𝑥+1𝑥)，则𝑓′(1)=e1×(ln1+11)=e.即𝑓′(1)的值为e.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】曲线2lnyx在点(1,0)处的切线方程为__________．【答案】y=2x–2【解析】由𝑦=𝑓(𝑥)=2ln𝑥，得𝑓′(𝑥)=2𝑥.则曲线𝑦=2ln𝑥在点(1,0)处的切线的斜率为𝑘=𝑓′(1)=2，则所求切线方程为𝑦−0=2(𝑥−1)，即𝑦=2𝑥−2.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.13．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】曲线21yxx在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1yx【解析】设()yfx，则21()2fxxx，所以(1)211f，所以曲线21yxx在点(1,2)处的切线方程为21(1)yx，即1yx．【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设),(00yxP是曲线)(xfy上的一点，则以P为切点的切线方程是000()()yyfxxx．若曲线)(xfy在点))(,(00xfxP处的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0xx．14．【2017年高考天津文数】已知aR，设函数()lnfxaxx的图象在点（1，(1)f）处的切线为l，则l在y轴上的截距为___________．【答案】1【解析】由题可得(1)fa，则切点为(1,)a，8因为1()fxax，所以切线l的斜率为(1)1fa，切线l的方程为(1)(1)yaax，令0x可得1y，故l在y轴上的截距为1．【名师点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题型，函数()fx在点0x处的导数0()fx的几何意义是曲线()yfx在点00(,)Pxy处的切线的斜率，切线方程为000()()yyfxxx．解题时应注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同，没切点应设出切点坐标，建立方程组进行求解．15．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线4(0)yxxx上的一个动点，则点P到直线0xy的距离的最小值是▲.【答案】4【解析】由4(0)yxxx，得241yx，设斜率为1的直线与曲线4(0)yxxx切于0004(,)xxx，由20411x得02x（02x舍去），∴曲线4(0)yxxx上，点(2,32)P到直线0xy的距离最小，最小值为22232411.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.16．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，点A