2012.2-215离散型随机变量的均值和方差解析

2.3.1（二）2.3.1离散型随机变量的数学期望(二)【学习要求】1．熟练掌握均值公式及性质．2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题．【学法指导】上一课时，我们学习了离散型随机变量的均值，初步掌握了它的应用，在实际生活中，常利用随机变量均值的大小决定某些方案的优劣，解决一些决策问题．通过本课的学习，培养把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识.本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）1．分布列为ξ－101P121316的期望值为()A．0B．－1C．－13D.12试一试·双基题目、基础更牢固解析E(ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.C本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）2．设E(ξ)＝10，则E(3ξ＋5)等于()A．35B．40C．30D．15试一试·双基题目、基础更牢固解析E(3ξ＋5)＝3E(ξ)＋5＝3×10＋5＝35.A本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）3．已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品，从中任取两个，则取出的次品数X的数学期望为()A.15B.25C.35D.45试一试·双基题目、基础更牢固解析取出的次品数X服从参数N＝10，M＝2，n＝2的超几何分布，∴E(X)＝nMN＝410＝25.B本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）4．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝________.试一试·双基题目、基础更牢固解析ξ的分布列为ξ012P494919所以期望E(ξ)＝0×49＋1×49＋2×19＝69＝23.23本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望．解设甲和乙不会的题得分分别为随机变量ξ和η.由题意知ξ～B(80,0.25)，η～B(20,0.25)，研一研·题型解法、解题更高效故E(ξ)＝80×0.25＝20，E(η)＝20×0.25＝5.于是E(ξ＋20)＝E(ξ)＋20＝40，E(η＋80)＝E(η)＋80＝85.故甲、乙在这次测验中得分的期望分别为40分和85分．本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）题型二超几何分布的均值例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：摸5个球中彩发放奖品有5个白球1顶帽子(价值20元)恰有4个白球1张贺卡(价值2元)恰有3个白球纪念品(价值0.5元)其他同乐一次(无任何奖品)试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率；(2)按摸10000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）解(1)摸一次能获得20元奖品的概率是C56C512＝1132.(2)如果把取到的白球作为随机变量X，则P(X＝5)＝C56C512＝1132，P(X＝4)＝C46C16C512＝15132，P(X＝3)＝C36C26C512＝50132，P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝66132，研一研·题型解法、解题更高效所以博彩者的收入这一随机变量η(可以为负数)的分布列为η－19－10.51P1132151325013266132所以收入的随机变量η的期望值为：E(η)＝(－19)×1132＋(－1)×15132＋0.5×50132＋1×66132≈0.4318.故这个人可以赚钱，且摸10000次净收入的期望为4318元．本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）小结本题是随机变量期望的应用问题，解题的关键是正确地设出随机变量，然后求出该随机变量的所有可能的取值，在实际问题中应综合考虑问题的各种情形，如本题中既要考虑到这个人的收入，又要考虑到其支出，因此就一次摸球而言，这个人的收入情况是不确定的，有－19元，－1元，0.5元，1元四种可能．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：nniipEXxpEXxpEXxDX22121)()()(则称为随机变量X的方差。niiipEXx12)(P1xix2x······1p2pip······nxnpX称DXX为随机变量X的标准差。它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。2.3.1（二）三、基础训练1、已知随机变量X的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求DX和σX。21.042.034.022.011.00EX解：2.11.0)24(2.0)23(4.0)22(2.0)21(1.0)20(22222DX095.12.1DXX2.3.1（二）三、基础训练1、已知随机变量X的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求DX和σX。21.042.034.022.011.00EX解：2.11.0)24(2.0)23(4.0)22(2.0)21(1.0)20(22222DX095.12.1DXX2.3.1（二）四、方差的应用例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2分布列如下：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解：9,921EXEX8.0,4.021DXDX表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8－10环。2.3.1（二）问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.49,921EXEX8.0,4.021DXDX2.3.1（二）练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？2.3.1（二）解：1400,140021EXEX1240000,160000DXDX在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。2.3.1（二）五、几个常用公式：DXabaXD2)()1(ppDXX服从两点分布，则若)1(),(~pnpDXpnBX，则若2.3.1（二）跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；(2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望E(ξ)，并求该商家拒收这批产品的概率．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）解(1)设X为取出合格品的件数，则X服从二项分布，且X～B(4,0.8)，故P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C04×0.80×0.24＝0.9984.(2)不合格产品数ξ的可能取值为0,1,2，则ξ服从超几何分布，研一研·题型解法、解题更高效且P(ξ＝0)＝C03C217C220＝136190，P(ξ＝1)＝C13C117C220＝51190，P(ξ＝2)＝C23C017C220＝3190.ξ012P136190511903190∴E(ξ)＝0×136190＋1×51190＋2×3190＝310，且商家拒收这批产品的概率为P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝51190＋3190＝2795.本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）题型三综合应用问题例3根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施．试比较哪一种方案好．解用X1，X2，X3分别表示方案1,2,3的损失．研一研·题型解法、解题更高效采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即X1＝3800.本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）采用第2种方案，遇到大洪水时，损失2000＋60000＝62000元；没有大洪水时，损失2000元，即X2＝62000，有大洪水；2000，无大洪水.同样，采用第3种方案，有X3＝60000，有大洪水；10000，有小洪水；0，无洪水.研一研·题型解法、解题更高效于是，E(X1)＝3800，E(X2)＝62000×P(X2＝62000)＋2000×P(X2＝2000)＝62000×0.01＋2000×(1－0.01)＝2600，E(X3)＝60000×P(X3＝60000)＋10000×P(X3＝10000)＋0×P(X3＝0)＝60000×0.01＋10000×0.25＝3100.采取方案2的平均损失最小，因此可以选择方案2.本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）小结值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：如果问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，因此对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）跟踪训练3在湖南卫视的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A，B两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获奖金1000元，答对问题B可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A，B的概率分别为12，14.(1)记先回答问题A的奖金为随机变量X，则X的取值分别是多少？(2)你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）解(1)0元，1000元，3000元．(2)设先答A的奖金为X元，先答B的奖金为Y元．研一研·题型解法、解题更高效则有P(X＝0)＝1－12＝12，P(X＝1000)＝12×(1－14)＝38，P(X＝3000)＝12×14＝18，故E(X)＝0×12＋1000×38＋3000×18＝60008＝750.同理P(Y＝0)＝34，本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）P(Y＝2000)＝18，P(Y＝3000)＝18，研一研·题型解法、解题更高效故E(Y)＝0×34＋2000×18＋3000×18＝50008＝625.故先答A所获的奖金较多.本课时栏目开关试一试研一研练一练2.3.1（二）练一练·当堂检测、目标达成落实处1．某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要