浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第11章11.6 双曲线剖析

221102A2B.42C3D431.xy双曲线的焦距为．3．3．D222122343.cabc由已知得，所以，故焦距为解析：2222222224,04,0A.1B.1412124C.1D.11066102.xyyyxyxy已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为A22244e2212.-1.412ccaaabxy由已知有，，所以，所以双曲线的方程为解析：22122873.xyFPQPQFPFQ过双曲线的左焦点有一条弦在左支上，若，是双曲线的右焦点，则的周长是A．28B．14-8C．14+8D．8222121221111222-4-4-||8778148.PFPFQFQFPFQFPFQFPFQFPQPFQFPFQ由双曲线的定义知，，，所以，又，所以，所以的周长为解析：22y441..x已知双曲线，则其渐近线方程是　　，离心率　　———————————___________12yx5e2_______________222210422155e.2xyyxabcabca由，得，即为渐近线的方程．又，，所以，所以解析：221255(32)______________.5.xyCC若双曲线的焦点和椭圆的焦点相同，且过点，，则双曲线的方程是221128xy2222222222222222552012012(32)2811.128cxyxCababababxy由已知，，且焦点在轴上，设双曲线的方程为，则求得，故所求双曲线的方程为解析：1.双曲线的定义平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a(且)的点的轨迹叫双曲线，有||MF1|-|MF2||=2a.在定义中，当2a=|F1F2|时表示两条射线，当时，不表示任何图形.0＜2a＜|F1F2|2a|F1F2|2.双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线:,其中,焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)；(2)焦点在y轴上的双曲线:,(a＞0,b＞0)，其中c2=a2+b2，焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c).,xyabab2222100（＞＞）c2=a2+b2,xyabab2222100（＞＞）3.双曲线(a＞0,b＞0)的几何性质(1)范围：,y∈R；(2)对称性：对称轴x=0,y=0，对称中心(0，0)；一般规律：双曲线有两条对称轴，它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线.xyab22221|x|≥a(3)顶点:A1(-a,0),A2(a,0);实轴长,虚轴长;一般规律：双曲线都有两个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.(4)离心率()；双曲线的离心率在(1,+∞)内，离心率确定了双曲线的形状.|A1A2|=2a|B1B2|=2be＞1cea(5)渐近线：双曲线的两条渐近线方程为；双曲线的两条渐近线方程为.双曲线有两条渐近线，它们的交点就是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b;有公共渐近线的两条双曲线可能是:a.共轭双曲线；b.放大的双曲线；c.共轭放大或放大后共轭的双曲线.xyab22221byxayxab22221ayxb已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两条渐近线方程，即方程就是双曲线的两条渐近线方程.0xyab2222xyab22221考点1：双曲线的定义及应用例题1：如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是10，那么点P到左焦点的距离为()A.6B.14C.6或14D.2或1842xy221C解析:因为||PF1|-|PF2||=2a=4，|PF2|=10，所以|PF1|=6或14，故选C.点评：本小题主要是应用双曲线的第一定义求解问题.拓展训练：已知动圆M与圆C1:(x+5)2+y2=49和圆C2:(x-5)2+y2=1都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解析：设动圆半径为R,则|MC1|=R+7|MC2|=R+1,则|MC1|-|MC2|=6,可知动点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支，其方程为(x0).916xy221例题2:根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程：(1)与双曲线有共同的渐近线，且过点解析：(1)方法1：由双曲线的方程得a=3,b=4,所以渐近线方程为916xy221,;323.yx43考点2求双曲线的标准方程当x=-3时，所以所求的双曲线的焦点在x轴上.设所求双曲线的方程为由题意，得所以所求双曲线的方程为,yx44342333＞xyab22221,baab2222432331解得,ab229449164xy221方法2：双曲线的渐近线方程为所以设所求双曲线的方程为将点代入得故所求双曲线的方程为即916xy221,yx43().916xy220(,)323,149164xy2219164xy221(2)与双曲线有公共焦点，且过点解法1：设所求双曲线的方程为由题意易求得又双曲线过点所以因为所以a2=12,b2=8.故所求双曲线的方程为.xyab22221.c25,,322.ab2223241,ab22225128xy221164xy221,.322方法2：设所求双曲线的方程为将点代入得k=4,所以所求双曲线的方程为,xykk221164(,)322.128xy221待定系数法求双曲线方程最常用的设法：（1）与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为（t≠0）；（2）若双曲线的渐近线方程为则双曲线方程可设为(t≠0)；（3）与双曲线共焦点的双曲线方程可设为(-b2ka2);xyab22221xytab2222,byxaxytab22221xyab2222xyakbk22221点评：（4）过两个已知点的双曲线方程可设为(mn0)；（5）与椭圆(ab0)共焦点的双曲线方程可设为(b2ka2).合理利用上述结论求双曲线的方程可简化解题过程，提高解题速度.1xymn221xyab2222xyakkb22221已知点P（0,6）与双曲线(a0,b0)的两个焦点的连线互相垂直，且与两个顶点连线的夹角为求双曲线的方程.解析：设F1、F2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x轴上.xyab22221.3拓展训练：因为PF1⊥PF2,且|OP|=6,所以2c=|F1F2|=2|OP|=12,所以c=6.又P与两顶点连线的夹角为所以所以b2=c2-a2=24,故所求双曲线的方程为,3||?,aOPtan23611224xy22考点3：双曲线的几何性质例题3：如图，F1和F2分别是双曲线(a＞0,b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()1xyab2222A.B.C.D.355213解析：连接AF1.由题意得∠F1AF2=90°,∠AF2F1=30°,|F1F2|=2c,|AF1|=c,|AF2|=c,2a=|AF2|-|AF1|=c-c,则双曲线的离心率为故选D.3322e31,23ccacc点评：本题的关键是将平面几何的性质转化为双曲线的特征量之间的关系.已知F1,F2为双曲线(a＞0,b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2=30°，则双曲线的渐近线方程为.1xyab2222拓展训练：解析：方法1：设F2(c,0)(c＞0),P(c,y0),则解得所以在Rt△PF1F2中，∠PF1F2=30°所以|F1F2|=|PF2|,即又c2=a2+b2,故有b2=2a2,所以故所求双曲线的渐近线方程为,ycab220221,bya20||,bPFa223,bca232ba2，.yx2方法2：|PF1|=2|PF2|,由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a,得|PF2|=2a.因为|PF2|=所以所以b2=2a2,所以故双曲线的渐近线方程为,ba2,baa22,ba2.yx2考点4：双曲线的综合应用例题4：已知双曲线C：(0l1)的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定l的取值范围，使=0，其中点O为坐标原点．2211xyOMON分析：联立直线方程与双曲线方程，寻找交点坐标的关系．112200002()()1,01.(1)(1)0011,1(11)1,1(11)11110115.2MxyNxyBMNxMNxMyNyyOMONyMNMNC设，，，，由已知易求得．①当垂直于轴时，的方程为设，，，．由，得，所以，，．又，，在双曲线上，所以，所以，所解：以析222222221222122111(1)[(1)]2(1)(1)()0.(1)02(1)(1)(1)()(1)MNxMNykxxyykxkxkxkkkxxkkxxk②当不垂直于轴时，设的方程为．由，得由题意知，，所以，，22212122212122122122211.(1)0(1)01001(1)512.112310512.23kyykxxkOMONMNxxyykxxkxx于是因为，且、在双曲线的右支上，所以由①②知，点评：直线与双曲线的位置关系与直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法，但要注意联立后得到一元二次方程的二次项系数能否为零．12121120,4()8,3CyxCCPlCABxQQCPQQAQBQ双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为双曲线的一条渐近线．求双曲线的方程；过点的直线，交双曲线于、两点，交轴于点点与的顶点不重合．当且时，求点的坐标．拓展训练：2222222222221.12,02,084231131.3xyabxyCcyxCbabayCx设双曲线方程为由椭圆，求得两焦点为，，所以对于双曲线有，又为双曲线的一条渐近线，所以，所以，，所以双曲线的方程为解析：1122111111111111114()()4(0)44(4)()44444()2()4lklykxAxyBxyQkPQQAlxykkxkkxkkyyAxyC由题意知，直线的斜率存在且不等于零．设的方程为，，，，，则，．因为，所以，，，所以因为，在双曲线上，21221122221112221122222221211616()1031616321603161632160.3161632160.316k0l16k0.kkkkkkk所以，所以，所以同理有若，则直线过顶点，不合题意．所以所以、是一元二次方程22212221632160328163402.(2,0)kxxkkkkQ的两根．所以，所以，此时，，所以所以所求的坐标为．已知椭圆C1的方程为双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程；解析：（1）设双曲线C2的方程为:（a＞0,b＞0）,则a2=4-1=3,c2=4，再由a2+b2=c2,得b2=1,故C2的方程为备选题备选题xy2214，1xyab