第12章虚位移原理及其应用习题解

—1—第12章虚位移原理及其应用12－1图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。试求平衡时，主动力F1与F2的大小关系。解：应用解析法，如图（a），设OD=l：sin2lyA；sin6lyBδcos2δlyA；δcos6δlyB应用虚位移原理：0δδ12AByFyF02612FF；213FF12－2图示的平面机构中，D点作用一水平力F1，求保持机构平衡时主动力F2之值。已知：AC=BC=EC=DE=FC=DF=l。解：应用解析法，如图所示：coslyA；sin3lxDδsinδlyA；δcos3δlxD应用虚位移原理：0δδ12DAxFyF0cos3sin12FF；cot312FF12－3图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为θ和β，不计楔块自重与摩擦。求竖向力F1与F2的大小关系。解：如图（a），应用虚位移原理：0δδ2211rFrF如图（b）：tanδδtanδ2a1rrr；12δtantanδrr0δtantanδ1211rFrF；tantan21FF12－4图示摇杆机构位于水平面上，已知OO1=OA。机构上受到力偶矩M1和M2的作用。机构在可能的任意角度θ下处于平衡时，求M1和M2之间的关系。习题12-1图OF1F2（a）OF1F2xyBADBAOCEGDF1F2习题12-2解图yxF1F2θβ习题12－3图F1F2θβ（a）r1r2rar1rar2（b）—2—解：应用虚位移原理：0δδ2211MM（1）如图所示，eaδcosδrr其中：`1aδδOAr；2eδcos2δOAr所以：21δ2δ，代入式（1）得：122MM12－5等长的AB、BC、CD三直杆在B、C铰接并用铰支座A、D固定，如图所示。设在三杆上各有一力偶作用，其力偶矩的大小分别为M1、M2和M3。求在图示位置平衡时三个力偶矩之间的关系（各杆重不计）。解：应用虚位移原理：0δδδ332211MMM（1）如图所示，BCrrδ60sinδ；CBCrrδ60cosδ设三杆长均为l，则有：`1δδlrB；3δδlrC；2δδlrCB所以：13δδ23，23δδ21代入式（1）得：02123321MMM；023321MMM12－6图示三根均质杆相铰接，AC=b，CD=BD=2b，AB=3b，AB水平，各杆重力与其长度成正比。求平衡时θ、β与γ间的关系。解：应用解析法，如图所示：sin2byE；δcos2δbyEsinsinbbyF；δcosδcosδbbyFsinbyG；δcosδbyG应用虚位移原理：0δ2δ2δGFEymgymgymg即：0δcos2)δcosδcos(2δcos2mgbbbmgbmg（1）根据几何关系：sin2sin2sinbbb；cos2cos2cos3bbbb对上两式求变分：；δcos2δcos2δcosbbb；δcoscosδcos2cosδM1M2O1OAθrarerr习题12－4解图21ABCD60˚M1M2M3rCrBrCB123习题12－5解图ACDθβγmg2mg2mg习题12－6解图xyEFGB—3—0δsin2δsin2δsinbbb；δtancossintancossin2δ；δδ)tancossintancossincos(coscos1将上式代入式（1），有：0tantansincostan2cos2tantantancossin5mgmgmg0)sincos(tan2)tan(tancos2)tancos(sin50)tan(tan2)tan(tan2)tan(tan50tan3tan7tan412－7计算下列机构在图示位置平衡时主动力之间的关系。构件的自重及各处摩擦忽略不计。解：图（a）：0δδlrMrFDC；30cosδ60cosδDCrr0δδ3lrMrFDD；FlM3图（b）：0δδ2aelrMrF；eaδ60cosδrr0δδaalrMrF；FlM图（c）：0δδrrMrFAC；)cos(δcosδBArr；2sinδcosδBCrrCArrδ2tancotδ；0δ2cottanδCCrrMrFcottan2rFMABCD60˚lMF60˚2lABCD60˚lMF60˚MAFCBDrθθφ习题12－7解图（a）（b）（c）rCrDrarerrrCrArB—4—12－8机构如图，已知OA=O1B=l，O1BOO1，力偶矩M。试求机构在图示位置平衡时，力F的大小。解：应用虚位移原理：0δδMrFB（1）如图所示，eaδsinδrr；其中：δδalr；sinδδellrrB所以：Brlδsinsinδ，代入式（1）得：lMF12－9机构如图，已知OA=20cm，O1D=15cm，O1D//OB，弹簧的弹性系数k=1000N/cm，已经拉伸变形cm2s，M1=200N·m。试求系统在θ=30º、β=90º位置平衡时的M2。解：应用虚位移原理：0δδδ121DOrMrFOArMDBA（1）如图所示，BCArrrδδδcosδsinδDCrr代入式（1）得：0δtanδδ121DOrMrFOArMAAAmN8.259)210002.0200(30tan15.0)(tans112kOAMDOM12－10在图示结构中，已知铅垂作用力F，力偶矩为M的力偶，尺寸l。试求支座B与C处的约束力。解：解除B处约束，系统的虚位移如图（a），应用虚位移原理：0δδδMrFrFDBB（1）其中：BDrrδ2δ；lrlrBDδ2δδ代入式（1）得：0δ2δ2δlrMrFrFBBBB)(222lMFlMFFB解除C处约束，系统的虚位移如图（b），应用虚位移原理：0δδMrFCC（2）将δδlrC代入式（2）得：lMFCABO1OMFrerarr习题12-8解图rBABO1OM1M2CDθβ习题12-9解图rBrArDrCFACDMllllFBrCACDMllllFB习题12-10图ACDMllllFBrB（a）（b）FBFCrD—5—FrDyEDCGN1FN1F2FEyBGrFA1F5m3m(a)习题12-12图FrFDrC2FErHr1FBAN2FGrN2F5mDHGE(b)12－11在图示多跨静定梁中，已知F=50kN，q=2.5kN/m，M=5kN·m，l=3m。试求支座A、B与E处的约束力。解：解除A处约束，系统的虚位移如图（a），应用虚位移原理：0δ)δ(δ2δδ21MrrqlrFrFFAA（1）其中：2δδδ1AFrrr；4δ3δ2Arr；lrA4δδ代入式（1）得：0δ)414522(AArlMqlFF；kN667.6AF解除B处约束，系统的虚位移如图（b）。0δ)δ(δ2δδ21MrrqlrFrFBBF（2）其中：2δδBFrr；2δ3δδ21Brrr；lrB2δδ代入式（2）得：0δ)2162(BBrlMqlFF；kN167.69BF解除E处约束，系统的虚位移如图（c）。0δδδ22MrFrqlEE（3）将δδ2lr；δ4δlrE代入式（3）得：0δ)42(2MlFqlE；kN167.4EF12－12试求图示梁——桁架组合结构中1、2两杆的内力。已知kN41F，kN52F。解：1．求杆1内力，给图（a）虚位移，则δ3δDy，δ2δEyδ5δFr，δ5δGr虚功式0cosδcosδδδ1N1N21GFEDrFrFyFyF即053δ553δ5δ2δ31N1N21FFFF211N236FFF31132211NFFFkN（受拉）2．求杆2内力，给图（b）虚位移，则δ4δHr，δ3δDrδ2δEr，δ5δGrFrδ，Grδ在FG方向投影响相等，即cosδcosδGFrrGFrrδδ虚功式0sinδδδδN222N1FEHDrFrFrFrF习题12-11图ABCDMl2l2l2lFqlE（a）ABCDMl2l2l2lFqlE（b）ABCDMl2l2l2lFqlE（c）ABCDMl2l2l2lFqlEFArArFr1r2FBFEr2r1rFrBr2rE—6—即054524δ3N222N1θFθFθFθF2223821N2FFFkN4112NFkN12－13在图示结构中，已知F=4kN，q=3kN/m，M=2kN·m，BD=CD，AC=CB=4m，θ=30º。试求固定端A处的约束力偶MA与铅垂方向的约束力FAy。解：解除A处约束力偶，系统的虚位移如图（a）。0δsinδ2δDArFrqM（1）其中：δ1δr；δ4δδδBDCrrr代入式（1）得：0δ)sin42(FqMAmkN22sin4qFMA解除A处铅垂方向位移的约束，系统的虚位移如图（b）。应用虚位移原理：0δδ2cosδBCDAAyMrFrF（2）其中：BCCArrδcos4δδ；BCDrδ2δ代入式（2）得：0δ)22coscos4(BCAyMFF；kN577.030cos41MFFAy12－14图示结构由三个刚体组成，已知F=3kN，M=1kN·m，l=1m。试求支座B处的约束力。解：解除B处约束，系统的虚位移如图（a）。应用虚位移原理：0δδsinδFCEBBrFMrF（1）其中：101sin；CEFElrrδ4δ2δ；CEClrδ23δ；CECBlrlrδ23δ10δ代入式（1）得：0δ)2(CEBlFMlF；kN52lFMFBABCDF3llE2llllM习题12-14图ABCDF3llE2llllMCErBrCrErF（a）OFBABCDMFqθABCDMFqθMArCrDrBrBCrCrAFAyrBO（a）（b）rDABCDMFqθ习题12-13图—7—12－15在图示刚架中，已知F=18kN，M=4.5kN·m，l1=9m，l2=12m，自重不计。试求支座B处的约束力。解：解除B处水平方向位移的约束，系统的虚位移如图（a）。应用虚位移原理：0δδFBxBxrFrF（1）其中：DBDBBxlOBrδ2δδ2；DBDODrδδ；DBDFllADrrδδδ22代入式（1）得：0δ)2(22DBBxlFlFkN92FFBx解除B处铅垂方向位移的约束，系统的虚位移如图（b）。应用虚位移原理：0δδδCEFByByMrFrF（2）其中：DBDBBylABrδ2δδ1；DBDODrδδ；DBDFllADrrδδδ22CEDBEOEAErδδδ；DBCEOEAEδδ且：15lAE；125