《九章算术》中的更相减损术

小课题：《九章算术》中约分术与更相减损术课题：《九章算术》中约分术与更相减损术总课时：1教学目标：1.理解《九章算术》中约分术与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；教学重难点理解《九章算术》中约分术与更相减损术与更相减损术求最大公约数的方法教学方法：多媒体课件教学过程：一、导入《九章算术》是中国古代最著名的数学著作，大约在公元前后成书，此书奠定了中国古代数学的基本特点.“算法化”就是其一.用现在的观点来看,《九章算术》中的“术”就是算法,本文以该著作中“方田”这一章的“约分术”为例说明之，在这一章中，有一个求两数91与49的最大公约数的问题:“又有九十一分之四十九，问约之得几何。答日:十三分之七.”然后给出求两数最大公约数的方法，即“约分术”一可半者半之，不可半者，副置分母子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之。将这个方法翻译成现代汉语:分子和分母如果都是偶数，就用2除,直到至少有一个不是偶数为止;如果不全是偶数，则直接把表示分子和分母的数分置两列，然后从大数中减去小数，把差算作原数与原来的小数比较，仍然采用以大减小的方式，持续地辗转相减，直到两列得到的数相等，这个相等的数就是分子和分母的最大公约数。二、举例讲解这个“约分术”可用于求任意两数的最大公约数.下面按这一-“术”将求91与49的最大公约数的过程表述如下:9149(91-49)=42(42-7)=357(=49-42)(35-7)=28(28-7)=21(21-7)=14(14-7)=77=7最后得出的两边相等的数7即为最大的公约数.用现代算法观念来考察这个“术，可见它具有以下特点:(1)它是一个严格“一义”的规定,不可能有歧义的理解;(2)在实施这一过程时，每一时刻都知道下一时刻(或每一一步都知道下一一步)怎么办;(3)能解决求两个数(任意正整数)的最大公约数这一-类问题;(4)由于任意给定的数都是有限的,辗转相减，一定能在有限步内减到“最后”一步.即能在有限步内得出结果。三、更相减损术中国古代的数学专著《九章算术》中也有求最大公约数的算法，就是更相减损术.即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”翻译为现代语言如下：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.例2用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35最早的文字记载见于《九章算术》方田章约分术，用于求一个分数的分子、分母的最大公约数.具体方法参见约分条.后又被中国古代数学家推广应用于求最小公倍数、解一次不定方程和一次同余式组以及解线性方程组等.约分术有以下七种:1.约分术2.密率术3.盈不足术4.方程术5.少广术6.均输术7.衰分术板书设计：《九章算术》中约分术与更相减损术约分术：9149(91-49)=42(42-7)=357(=49-42)(35-7)=28(28-7)=21(21-7)=14(14-7)=77=7最后得出的两边相等的数7即为最大的公约数.更相减损术：用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35教学后记：1.教材原有的顺序为先引入约分术再讲更相减损术，我将教材顺序作了调整，这种调整更加符合学生的认知规律，也更好地体现了化归思想。2.在课堂教学设计中，从设置情景到提出问题，到动手操作、交流，直至归纳得到结论，整个过程学生不仅探索了求最大公约数的方法——更相减损术，还初步认识约分法。更重要的是经历了知识的形成过程，掌握了一种分析问题、解决问题的方法，积累了数学活动经验，这将有利于学生更好的理解数学，应用数学。3.本节课的设计体现了以教师为主导、学生为主体，以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的生本教育理念。