8.数学建模-层次分析法

§9.常见的数学建模方法(5)---层次分析法(第8章）1.层次分析法的历史层次分析法指TheAnalyticHierarchyProcess，简称AHP，美国运筹学家，匹兹堡大学T.L.Saaty教授在七十年代初期最早提出。AHP的第一篇论文于1977年在国际数学建模学术会议上发表。AHP作为一种决策方法是在1982年1月召开的中美能源、资源、环境学术会议上由Saaty的学生H.Gholamnezhad首先向中国学者介绍。1982年国内第一篇介绍AHP的论文发表。1988年在我国召开第一届国际AHP学术会议。层次分析法是一种实用的多准则决策方法，是近年来发展迅速的系统分析的重要方法之一，具有定性与定量相结合处理各种决策因素的特点，又有简便易操作的优点，已迅速地在我国社会经济多个领域内得到广泛的重视与应用，许多高等学校，特别是重点院校，自87年起，纷纷开设了有关层次分析法的课程。实例合理分配利润问题某工厂有一笔留存利润，共计一百万。可供选择的分配方案为：以奖金形式发给工人，扩建职工福利设施，引进新设备。假定需从以下三个准则来考虑问题:(1)调动职工积极性;(2)提高技术水平;(3)改善职工生活条件.如何作出合理科学的分配决策方案？实例过河运输条件的决策问题某城市要改善过河运输条件，有三种方案可选择：建桥，建隧道或轮渡？如何作出合理科学的决策选择？数学物理化学语文英语学生甲8580757090学生乙7280858085学生丙9072608095各科目的权重不一：数学：0.25物理：0.2化学：0.15语文:0.1英语：0.3如何选拔优秀生？两个实例的比较---层次分析法基本操作及其原理说明(1)录取优秀生的问题这是个可进行量化决策的问题，一般的做法是计算出他们各自的加权平均成绩,再进行比较挑选:学生甲的平均成绩=85×0.25+80×0.2+75×0.15++70×0.1+90×0.3=82.5学生乙的平均成绩=72×0.25+80×0.2+85×0.15++80×0.1+85×0.3=79.25学生丙的平均成绩=90×0.25+70×0.2+60×0.15++80×0.1+95×03=82.4上面的这三个计算式也可以写成以下的矩阵运算形式：85807570900.2582.50.272808580850.15=79.250.190726080950.382.4由上计算可作出评价：学生甲是最佳学生.(2)选择旅游点的问题有三个旅游城市供你挑选，你想根据景色，费用，居住，饮食和交通这五个准则来作出最终的选择。这是个非量化决策问题，如果参照学生选优的决策过程，你的思维判断过程大致如下：首先，你应该确定这些准则在你心目中各占多大比重，给出权重系数；其次，对每一个准则你应将三个地点分别进行打分；最后，你要将这两个层次的量化判断分数进行综合，即进行矩阵和向量的乘积，最后得到关于三个旅游点的、可以排序的决策向量。这个思维过程可以用层次框图表示之:目标层选择旅游点准则层景色费用居住饮食交通方案层城市甲城市乙城市丙•问题1是一个定量化问题。•问题2是一个定性化问题，如何类比问题1作定量化处理，即在准则层和方案层分别对各准则的权重和针对准则对各方案进行量化打分？也就是对于景色、费用、居住、饮食和交通等5个准则,如何确定出它们之间的权重向量:(w1,w2,w3,w4,w5)T?针对各项准则，如何得到关于三个城市的评分？例如对于景色这一项准则，?312111aaa对于费用这一项准则，如何得到：?322212aaa如何得到：Saaty的设想：（1）在社会经济中大量的非定量化问题无法直接用绝对数量a11，a21，a31来比较衡量宜根据心理学原理，采用一种9级标准的相对表度方法，由语言判断过渡到数量评价；（2）相对比较宜在两两之间进行，这样可以根据信息学原理得到更多的信息和降低个别判断的失偏影响。相对表度法相等稍强较强强一些强强得多很强非常强绝对强123456789两两比较法对于同一个准则，得到两两比较的表度数，排成一个矩阵，称为这个准则下各个方案的判断矩阵。例如：城市甲：城市乙=绝对强,城市甲：城市丙=强一些,城市丙：城市乙=强;则可以得到以下判断矩阵城市甲194城市乙1/911/5城市丙1/451景色城市甲城市乙城市丙•需要解决的新问题：由判断矩阵如何科学地得到类似问题1中的权向量？•定量化问题1中对于“数学”这一准则已有权向量{85，72，90}，如按定性化问题的“两两比较”处理方法，考虑到已有各门课程的分数，应该有以下十分准确的比较判断矩阵：甲185/7285/90乙72/85175/90丙90/8590/751甲乙丙容易从线性代数方法算出它的最大特征值为3，以及从属于3的特征向量是：{85，72，90}，这与已有的权向量完全符合。1w1/w2w1/w3………………….w1/wnw2/w11w2/w3………………….w2/wn，………………………………………………….wn/w1wn/w2wn/w3…………………..1事实上，一般地，一个n×n的矩阵，如有以下形式：（这种矩阵称之为“正互反”的“一致”矩阵。“正互反”指：矩阵各元素均为正数，且与主对角线对称的元素互为倒数；“一致”指：矩阵（aij）各元素aij之间成立下列关系：aij·ajk=aik,i,j,k=1,2,3,….,n）这种矩阵的最大特征值一定是n，从属于n的特征向量一定是：{w1，w2，……..wn}。•根据联想的逻辑，Saaty认为由一个两两比较而产生的“正互反”的判断矩阵来得到类似问题1中的权向量的科学做法就是求出它的特征向量！•但须解决的又一新问题是：一般的定性问题中得到的判断矩阵是“正互反”的，但并不一定是“一致”的，于是在理论上存在一个GAP，即：•(1)正互反矩阵是否一定有正的特征值？(2)从属于这个正特征值的特征向量是否有正的向量？Perron在1907年已得到肯定的回答。Saaty以此作为他的理论依据，圆满地建立了AHP法。层次分析法的最基本操作步骤：（1）根据实际问题，建立层次结构框架；（2）由上至下作出目标对各个准则和每一个准则对各个方案的两两比较判断矩阵；（3）计算出各个判断矩阵的特征向量；（4）计算出最终决策用的组合权向量。3.AHP法的实际操作过程在具体实施AHP法时，还要解决以下的几个具体问题(1)比较判断矩阵的一致性检验比较判断矩阵总是一个正互反矩阵,但由于相对比较是两两独立进行的，于是不能保证两两比较而得的元素值满足关系：aij·ajk=aik，也就是比较判断矩阵不能保证是一致的。不过，比较判断矩阵显然不能太不“一致”，否则的话,用特征向量作为判断权向量所引起的判断误差会过大.所以AHP法实施中需要进行对比较判断矩阵“不一致”程度的检验，以确保判断矩阵的“不一致”程度误差不大，是可以接受的。这样，需要建立一个矩阵“不一致”程度的量化标准。正互反矩阵是一致的.一般情况下,比较判断矩阵大多是不一致的,不一致的正互反矩阵的最大特征根必定满足:λmaxn.Perron发现以下性质:当且仅当矩阵的最大特征根λmax=n时,于是，Saaty定义了一种数量来衡量不一致的程度大小,即规定“一致性标准”CI为:1maxnnCI他还规定了不一致程度的可接受范围,即令:“一致性比率”CR为：RICICR其中RI为“随机性一致性指标”,可根据不同的矩阵阶数n,用大量的同阶数矩阵样本，事先算出其相应的值.(见教材第312页)Saaty规定,当CR0.1时,该矩阵的“不一致”程度是可以接受的,可用其特征向量作为排序权向量;否则,要重新进行两两比较.(2)判断矩阵的特征向量与特征值的非代数算法算术近似法----和法:以归一化的算术平均列向量来代替特征向量.具体做法是:(a)将矩阵A=(aij)的每一个列向量归一化得:niijijijaaa1*(b)对A*=(aij*)按行求和得:njijiab1**(c)将bi归一化:niiiibbb1**(d)计算niiibAn1max)(1最后得特征向量α=(b1,b2,….,bn)T.几何近似法----根法：以归一化的几何平均列向量来代替特征向量.在和法中,将算术平均值用几何平均值替代,其他操作不变,即为根法.Math软件法.用Eigenvalues和Eigenvectors指令来完成相应的计算.特征向量与特征值的非代数算法-------和法的原理为:对于一致阵是严格成立的,而对于不一致程度不严重的非一致阵大致是近似正确的.(4)AHP法的实际操作示意图4.旅游点选择问题的AHP法具体求解过程旅游点选择问题的解决过程:假定我们对景色,费用,居住,饮食和交通这5个准则两两之间比较后有如下感性判断:费用:景色=稍强;景色:居住=强一些;景色:饮食=较强;景色:交通=较强;费用:居住=很强;费用:饮食=强;费用:交通=强;饮食:居住=稍强;交通:居住=较强;饮食:交通=相当.对景色而言,三个城市两两比较后的感性判断为:城市甲：城市乙=稍强;城市甲：城市丙=强;城市乙：城市丙=稍强.对费用而言,三个城市两两比较后的感性判断为:城市乙：城市甲=较强;城市丙：城市甲=非常强;城市丙：城市乙=较强.对居住而言,三个城市两两比较后的感性判断为:城市甲：城市乙=相当;城市甲：城市丙=较强;城市乙：城市丙=较强.对交通而言,三个城市两两比较后的感性判断为:城市甲：城市乙=相当;城市丙：城市甲=强一些;城市乙：城市丙=强一些.对饮食而言,三个城市两两比较后的感性判断为:城市甲：城市乙=较强;城市甲：城市丙=强一些;城市乙：城市丙=相当.准则层对目标层的判断矩阵为：景色费用居住饮食交通景色11/2433费用21755居住1/41/711/21/3饮食1/31/5211交通1/31/53110.2620.474=0.0550.0990.11相应的特征向量为：相应的最大特征值为：λmax=5.073.它的随机性一致性指标可由表中查得:RI=1.12,故它的一致性比率为:CR=CI/RI=0.018/1.12=0.0160.1,该判断矩阵通过一致性检验.因此,这个矩阵的一致性指标为:CI=(λmax–n)/(n–1)=(5.073–5)/4=0.018.方案层对各准则的判断矩阵为：景色：125费用：11/31/81/212311/31/51/21831居住：113饮食：1341131/3111/31/311/411交通：111/4114441故它们的一致性指标分别为:(CI)1=0.003,(CI)2=0.001,(CI)3=0,(CI)4=0.005和(CI)5=0.由于n=3时这些矩阵的随机一致性指标为(RI)i=0.58,i=1,2,3,4,5.所以立刻可验证出上面的五个判断矩阵均可通过一致性检验.它们的最大特征值λmax分别为:3.005,3.002,3,3.009和3.这些矩阵相应的特征向量分别为：0.5950.0820.4280.633β1=0.277,β2=0.236,β3=0.428,β4=0.1930.1290.6820.1440.1750.167和β5=0.1670.666456.0245.0299.011.0099.0055.0474.0262.0666.0175.0143.0682.0129.0167.0193.0428.0235.0277.0167.0633.0428.0082.0595.0),,,,(54321由此得到决策结论：首选城市丙为佳。最终算出决策用的组合权向量为：5.实例合理分配利润问题某工厂有一笔留存利润，共计一百万。可供选择的分配方案为：以奖金形式发给工人，扩建职工福利设施，引进新设备。假定需从以下三个准则来考虑问题:(1)调动职工积极性;(2)提高技术水平;(3)改善职工生活条件.如何作出合理科学的分配