《等差数列的前n项和》教学课件1

数列{an}前n项和的定义:叫做数列的前n项和。naSn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an11,;2,.nnnnnnaSnaSS当时当时等差数列：公差：通项公式：等差中项：高斯，(17771855）德国著名数学家。1+2+3+…+98+99+100=？高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？我们先看下面的问题。an+1-an=d（常数）dan=a1+(n-1)d2A=a+b)(497)104(21根怎样才能快速计算出一堆钢管有多少根呢？一二4+10=14三5+9=146+8=14四7+7=14五8+6=14六9+5=14七10+4=14(1)先算出各层的根数，每层都是14根；(2)再算出钢管的层数，共7层所以钢管总根数是：下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法。设S100=1+2+3+…+98+99+100反序S100=100+99+98+…+3+2+1+++++++作加法+++++++作加法多少个101?100个101所以S100=21(1+100)×100？？首项尾项？总和(21+)？项数2)(1nnaanS2S100=101+101+101+…101+101+101//////////\\\\+++++++作加法这就是等差数列前n项和的公式！=50502Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)多少个(a1+an)?共有n个(a1+an)把+得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq知：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为：=n(a1+an)这种求和的方法叫倒序相加法！2)(1nnaanS因此，2)(1nnaanS以下证明{an}是等差数列，Sn是前n项和，则证：Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an即Sn=a1an+a2++an-1+a3an-2+…+等差数列的前n项和公式的其它形式2)1nnaanS（dnaan)1(1dnnnaSn2)11（dnaan)1(1dnnnaSnn2)1（n15050110nn1299100511011.a11a3,a101,S2a3,d,S213153d,a,San4aa100,S222a100,S.例在等差数列{}中，()已知求；()已知求；()已知=-,求及；()已知求；(5)已知求1nn1nadanS()通项公式和前项和公式中涉及、、、、知三求二解方五个量，（程组）；2()设出首项和公差，设而不求整体代入；na等差数列反{思：}中，12600()10522()13n=10a3()，1004S5000()1005S10100()3()在求和时注意利用等差数定义和性质列的可简化运算.等差数列的前n项和例题想一想在等差数列{an}中，如果已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?dnnnaSn2)11（dnaan)1(1结论：知三求二解题思路一般是:建立方程(组)求解等差数列的前n项和例题1.根据下列条件，求相应的等差数列的nanS;10,95,5)1(1naan;50,2,100)2(1nda;14,23,32)3(1naan.32,7.0,5.14)4(1nada2)1nnaanS（.5002)955(1010SdnnnaSn2)11（2550)2(2)150501005050（S2)1nnaanS（.6352)]2/3(3/2[1414Sdnaan)1(1,2617.05.1432n.5.6042)325.14(2626S练习1根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn：(1)a1=5,an=95,n=20;(2)a1=100,d=－2,n=50;S10=1000S50=2550(3)在等差数列中S10=120，求a3+a8的值。由已知得a1+a10=24,故a3+a8=24练习2等差数列－10，－6，－2，2，···前多少项的和是54？解:设题中的等差数列为｛an｝，前n项和是Sn，则a1＝-10，d＝-6－（-10）＝4令Sn＝54，根据等差数列前项和公式，得：－10n＋n(n-1)2×4=54解得：n1=9,n2=－3n－6n－27=02整理得：答：等差数列－10，－6，－2，2，···前9项的和是54。（舍去）例4在等差数列{an}中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和。思考：在例4中，我们发现S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，你能得到更一般的结论吗？例5某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度无0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米？（精确到1m）例6教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税.教育储蓄的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生。假设零存整取3年期储蓄的月利率为2.1‰（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元?（2）零存整取3年期教育储蓄每月至少存入多少元?此时3年后本息合计约为多少元?（精确到1元）.练习3：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为na120,120,11201naa.72602)1201(120120S2)1nnaanS（答：V形架上共放着7260支铅笔.小结1.等差数列前n和公式的推导方法：倒序相加法；2.等差数列前n和公式及其变型；3.应用等差数列前n和公式解题时注意整体代入的思想，并注意借助定义、性质简化运算.