大学线性代数矩阵教学最全课件

第二章矩阵§1矩阵的概念§2矩阵的运算§3逆矩阵§4分块矩阵§5矩阵的初等变换§6矩阵的秩第二章矩阵§1矩阵的概念一、矩阵的定义定义:由m×n个数aij(i=1,2,∙∙∙,m;j=1,2,∙∙∙,n)排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作简记为:A=Amn=(aij)mn=(aij).这mn个数称为矩阵A的元素,数aij称为矩阵A的第i行第j列元素.第二章矩阵§1矩阵的概念元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。例如:34695301是一个24实矩阵;2222222613i是一个33复矩阵;是一个14(实)矩阵;9532421是一个31(实)矩阵;4是一个11(实)矩阵.第二章矩阵§1矩阵的概念二、几种特殊矩阵例如:2222225613是一个3阶方阵.(1)行数与列数都等于n的矩阵A,称为n阶方阵.也可记作An,(2)只有一行的矩阵,,,,21naaaA称为行矩阵(或行向量).,21naaaB(3)只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).第二章矩阵§1矩阵的概念(4)元素全为零的矩阵称为零矩阵,记作O..00000000000000000000例如注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.100010001的方阵,称为单位矩阵，(5)形如其中主对角线上的元素都是1，其他元素都是0。记作:EEn或第二章矩阵§1矩阵的概念第二章矩阵§1矩阵的概念n00000021的方阵,称为对角矩阵(或对角阵),(6)形如其中1,2,···,n不全为零.记作A=diag(1,2,···,n)(7)设A=(aij)为n阶方阵,对任意i,j,如果aij=aji都成立,则称A为对称矩阵.例如:643452321A为对称矩阵.第二章矩阵§1矩阵的概念2.如果A=(aij)与B=(bij)为同型矩阵,并且对应元素相等,即aij=bij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)则称矩阵A与矩阵B相等,记作A=B.三、同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵.例如:为同型矩阵.9101735,642531BA解:由于矩阵A=B,则由矩阵相等的定义,得:,131,213321zyxBA例1:设已知A=B,求x,y,z.x=2,y=3,z=2.第二章矩阵§1矩阵的概念例2：见P36（自学）.,,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxayn个变量x1、x2、…xn与m个变量y1、y2、…ym之间的关系式表示一个从变量x1、x2、…xn到变量y1、y2、…ym的线性变换，其中aij为常数。四、矩阵应用举例例3：(线性变换)参考P44第二章矩阵§1矩阵的概念mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211.,,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.第二章矩阵§1矩阵的概念线性变换nnxyxyxy,,2211称之为恒等变换.再如：它对应着单位矩阵100010001nE第二章矩阵§1矩阵的概念注：行列式与矩阵的区别:1.一个是算式，一个是数表2.一个行列数相同,一个行列数可不同.3.对n阶方阵可求它的行列式.记为:A第二章矩阵§2矩阵的运算一、矩阵的加法定义:设有两个m×n矩阵A=(aij)与B=(bij),那么矩阵A与B的和记作A+B,规定为注意:只有当两个矩阵是同型矩阵时,这两个矩阵才能进行加法运算.第二章矩阵§2矩阵的运算12345678912345612345678912324645681012778891416189例：第二章矩阵§2矩阵的运算矩阵加法满足下列运算规律(设A、B、C都是m×n矩阵)：(1)交换律：A+B=B+A,(2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C),(3)若记：-A=-(aij),称为矩阵A的负矩阵，则有：A+(-A)=O,A-B=A+(-B).二、数与矩阵相乘定义:数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ,规定为第二章矩阵§2矩阵的运算例：4321A2015105453525155A第二章矩阵§2矩阵的运算注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别.25023124100462522125422矩阵数乘满足下列运算规律(设A、B都是mn矩阵,,为数)﹕;1AA;2AAA.3BABA矩阵相加与矩阵数乘合起来,统称为矩阵的线性运算.第二章矩阵§2矩阵的运算skkjiksjisjijiijbabababac12211定义:设A=(aij)是一个ms矩阵,B=(bij)是一个sn矩阵,定义矩阵A与矩阵B的乘积C=(cij)是一个mn矩阵,其中三、矩阵与矩阵相乘(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).并把此乘积记作C=AB.记号AB常读作A左乘B或B右乘A。注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.第二章矩阵§2矩阵的运算168321663422142AB63422142BA与例5：求矩阵的乘积AB及BA.解：由于矩阵A与矩阵B均为二阶方阵，所以二者可以互乘。000021426342BA第二章矩阵§2矩阵的运算例5表明：矩阵乘法不满足交换律,即:ABBA,000BAAB或不能推出，若CBAACAB0不能推出且若，即：矩阵乘法不满足消去律另外，矩阵乘法满足下列运算规律：;:1BCACAB结合律,:2ACABCBA分配律;CABAACBBABAAB3（其中为数）;;)4(AEAAE定义:如果两矩阵相乘，有AB=BA,则称矩阵A与矩阵B可交换，简称A与B可换。第二章矩阵§2矩阵的运算上节例3中的线性变换.,,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay（1）XYA利用矩阵的乘法，可记作其中，),ija(A,nx2x1xX.y2y1yYm线性变换(1)把X变成Y，相当于用矩阵A去左乘X得到Y。第二章矩阵§2矩阵的运算kkkBAAB))(1(并且满足幂运算律:AkAm=Ak+m,(Am)k=Amk,其中k,m为正整数.注意:由于矩阵乘法不满足交换律,则:AAAAAAAkkk1若A是n阶方阵,则Ak为A的k次幂,即方阵的幂：))(()2(22BABABA2222))(3(BABABA2222))(4(BABABA第二章矩阵§2矩阵的运算四、矩阵的转置定义:把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT.例：矩阵的转置满足下述运算规律(假设运算都是可行的):(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;第二章矩阵§2矩阵的运算解法1:因为102324171231102AB,1013173140例7:已知,102324171,231102BA求(AB)T..1031314170TAB所以解法2:213012131027241.1031314170(AB)T=BTAT第二章矩阵§2矩阵的运算由矩阵转置和对称矩阵的定义可得:方阵A为对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.证明:自学（见P49）例8:设列矩阵X=(x1x2···xn)T,满足XTX=1,E为n阶单位矩阵,H=E–2XXT,证明:H为对称矩阵,且HHT=E.如果AT=-A，则称A为反对称矩阵。第二章矩阵§2矩阵的运算五、方阵的行列式定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或detA.例方阵的行列式满足下列运算规律：(1)|AT|=|A|;(2)|A|=n|A|;(3)|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.第二章矩阵§2矩阵的运算六、共轭矩阵定义:当A=(aij)为复矩阵时,用表示aij的共轭复数,记,称为A的共轭矩阵.ija)(ijaAA;2AA.3BAAB;1BABA共轭矩阵满足下述运算规律(设A,B为复矩阵,为复数,且运算都是可行的):作业：P49习题2-25.7.（用矩阵求解）.)()(4TTAA第二章矩阵§3逆矩阵定义:对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B,使AB=BA=E则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵,简称逆阵.记作：A-1=B唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.证明：CCEABCBCAEBBECAACEBAABACB)()(从而，的逆矩阵，则都是、设所以A的逆矩阵是唯一的。一、逆矩阵的定义和性质第二章矩阵§3逆矩阵方阵的逆矩阵满足下列运算规律﹕(1)若矩阵A可逆,则A-1亦可逆,且(A-1)-1=A.(2)若矩阵A可逆,且0,则A亦可逆,且.111AA(3)若A,B为同阶可逆方阵,则AB亦可逆,且(AB)-1=B-1A-1.(4)若矩阵A可逆,则AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.(5)若矩阵A可逆,则有|A-1|=|A|-1.第二章矩阵§3逆矩阵.,,0,10kkAAEAA定义时当另外有为整数时为正整数，这样，当其中,,,k0A,AAA.AA第二章矩阵§3逆矩阵定义:行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵A的伴随矩阵.性质:AA*=A*A=|A|E.证明:自学二、伴随矩阵的概念及其重要性质第二章矩阵§3逆矩阵三、矩阵可逆的判别定理及求法例9设,0112A求A的逆矩阵.解:利用待定系数法.是A的逆矩阵,dcbaB设100122badbca即100212badbca2110dcba由解得,则dcbaAB01121001解完否？第二章矩阵§3逆矩阵又因为所以.21101A即AB=BA=E,