1.3 正弦定理、余弦定理的应用

11．3正弦定理、余弦定理的应用课标解读1.巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程．(重点)2．能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(难点)实际测量中的有关术语【问题导思】小明出家门向南前进200米，再向东前进200米，到达学校上课．1．小明的学校在家的哪个方向？【提示】东南方向．2．能否用角度确定学校的方位？【提示】能．名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角续表名称定义图示俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角)方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角2测量问题例题1：如图1－3－1所示，在塔底B处测得山顶C的仰角为60°，图1－3－1在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB为20m，求山高CD.(精确到0.1m)【思路探究】DC可放到△BCD中，要求CD，已知∠DBC＝60°，∠CDB＝90°，所以只需求BD或CB，在△ABC中，AB的长度已知，三个内角都可以求出，所以可求得CB，则CD＝CB·sin60°.【自主解答】由条件知∠DBC＝60°，∠ECA＝45°，∴∠ABC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝60°－45°＝15°，∠CAB＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝135°，在△ABC中，由正弦定理得BCsin135°＝ABsin15°，∴BC＝AB·sin135°sin15°＝20×22146－2＝403－1.在Rt△BCD中，CD＝BC·sin∠CBD＝403－1×32≈47.3(m)．∴山高CD约为47.3m.规律方法1．本例是典型的测量高度问题，抽象出平面图形，并且将相应数据聚化到相应三角形中，十分关键．2．测量高度的有关问题，大部分都是转化为同一铅垂面上的解三角形问题，但也有转3化为立体图形的问题．变式训练如图1－3－2所示，空中有一气球C，图1－3－2在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它的南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，A，B两点间的距离为266米，这两个测点均离地1米，则气球离地多少米？【解】设OC＝x，则OA＝x，OB＝x·tan60°＝3x.在△AOB中，∠AOB＝90°＋60°＝150°，AB＝266，所以AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB＝x2＋3x2－2x·3x·(－32)＝7x2，所以x＝77AB＝77×266＝387(米)，所以气球离地(387＋1)米.航海问题例题2：甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的报警后，测得甲船是沿着东偏北105°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船至少应以什么速度、向何方向航行？【思路探究】画图→分析三角形满足条件→选择定理列方程→求相关量→作答【自主解答】如图所示：设乙船速度为v海里/小时，在C处追上甲船，4∠BAC＝45°＋180°－105°＝120°，在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，(23v)2＝(23×9)2＋102－2×23×9×10×cos120°，整理得v＝21.又由正弦定理可知BCsin∠BAC＝ACsinB，∴sinB＝AC·sin∠BACBC＝23×923×21×sin120°＝3314，∴B≈21°47′.即B应以每小时21海里的速度，按东偏北45°＋21°47′＝66°47′的角度航行．规律方法1．根据题意，恰当地画出三角形是解题的基础，将已知线段数量和角度，转化为要解三角形的边长和角度，是解题的关键．2．有关角度问题，一般要涉及到方位角、方向角等概念，对这些数据，要恰当转化，合理运用．变式训练在海岸A处发现在其北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船以103海里/时的速度追走私船，此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间．【解】由题意画出示意图如图所示，设缉私船最快追上走私船所需时间为t小时，则CD＝103t，BD＝10t.∵在△ABC中，AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝45°＋75°＝120°，∴BC＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC＝22＋3－12－2×2×3－1×cos120°＝6.5∵BCsin∠BAC＝ACsin∠ABC，∴sin∠ABC＝ACsin∠BACBC＝2×326＝22.∵∠BAC＝120°，∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.∵在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD＝CDsin∠CBD，所以sin∠BCD＝BDsin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12.∴∠BCD＝30°或∠BCD＝150°(舍去)，∴∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝6，∴10t＝6，∴t＝610，∴缉私船沿北偏东60°方向行驶能最快追上走私船，所需时间为610小时.平面几何问题例题3：如图1－3－3所示，在△ABC中，AC＝b，BC＝a，2a＜b，D是△ABC内一点，且A图1－3－3D＝a，∠ADB＋C＝π，问C为何值时，凹四边形ACBD的面积最大？并求出最大值．【思路探究】在三角形ABD和三角形ABC中分别运用余弦定理，可先求出边BD的长，进而表达出凹四边形ACBD的面积．【自主解答】设BD＝x，在△ABC和△ABD中，根据余弦定理，得AB2＝a2＋b2－2abcosC，AB2＝a2＋x2－2axcos∠ADB＝x2＋a2＋2axcosC，∴a2＋b2－2abcosC＝x2＋a2＋2axcosC，即x2＋2axcosC＋(2acosC－b)b＝0，解得x＝b－2acosC，或x＝－b(舍去)．于是凹四边形ACBD的面积6S＝S△ABC－S△ABD＝12absinC－12axsin∠ADB＝12absinC－12a(b－2acosC)sinC＝12a2sin2C.∴当C＝π4时，凹四边形ACBD的面积最大，最大值为12a2，此时BD＝b－2a.规律方法1．本例中，以角C为自变量，将凹四边形ACBD的面积表示为角C的三角函数，从而求解最值问题．2．求解平面图形的面积最值问题，关键是恰当地设立角度为自变量，建立目标函数．变式训练如图1－3－4所示，已知扇形OAB，图1－3－4O为顶点，圆心角∠AOB＝60°，半径为2cm，在弧AB上有一动点P，由P引平行于OB的直线和OA相交于C，∠AOP＝β.求△POC的面积的最大值以及此时的β值．【解】∵PC∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝60°.∴∠PCO＝120°，∠OPC＝60°－β.在△OCP中，由正弦定理得OPsin120°＝OCsin60°－β，∴OC＝OPsin60°－βsin120°＝2sin60°－βsin120°，S△OCP＝12·OC·OPsinβ＝12×2sin60°－βsin120°×2sinβ＝2sinβsin60°－βsin120°＝3sinβcosβ－sin2βsin120°7＝32sin2β－1－cos2β2sin120°＝cos2β－60°－12sin120°＝2cos2β－60°－13.故当cos(2β－60°)＝1，即当2β＝60°，β＝30°时，S△OCP有最大值33cm2.8过程不严谨，靠主观臆判而致误典例：如图1－3－5所示的是曲柄连杆装置示意图，连杆AC＝c，图1－3－5曲柄AB和曲轴BL所成的角为α，连杆AC和曲轴BL间的夹角为β，则α取什么值时，sinβ最大？【错解】∵点A在圆B上运动，∴要使β，即∠ACB最大，只需点A在最高或最低点即可，此时，△ABC中，∠ABC＝90°，即α＝90°时，AB＝r，AC＝c，sinβ＝sin∠ACB＝rc为所求的最大值．【错因分析】上述解答中想当然地认为点A在最高或最低点时，sinβ最大，虽然结论正确，但过程不严谨．【防范措施】建立目标函数，转化为三角函数最值问题，定量分析．【正解】在△ABC中，由正弦定理，得ABsinβ＝ACsinα，∴sinβ＝rcsinα.由对称性可知，只需讨论α∈[0，π]即可．∵sinβ＝rcsinα≤rc，∴当且仅当sinα＝1，即α＝π2时，sinβ最大．课堂小结1．基础知识：(1)有关术语：仰角、俯角、方向角、方位角；(2)利用解三角形，求解实际应用题的方法及步骤．2．基本技能：(1)测量问题；9(2)航海问题；(3)力学问题；(4)最值问题．3．思想方法：(1)函数思想；(2)转化思想；(3)数形结合思想．1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是________．【解析】如图所示，∵AD∥BC，∴α＝β.【答案】α＝β2．如图1－3－6所示，A、B两点中间有座山，从点C观测，AC＝60m，BC＝160m，∠ACB＝60°，则AB＝________.图1－3－6【解析】AB＝CA2＋CB2－2CA·CBcosC＝602＋1602－2×60×160×cos60°＝140(m)【答案】140m103．有一长为10m的斜坡，坡角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的坡角改为30°，则坡底要延长________m.【解】如图所示，设将坡底加长到B′时，坡角为30°.依题意，∠B′＝30°，∠BAB′＝45°，AB＝10m.在△ABB′中，根据正弦定理得BB′AB＝sin∠BAB′sinB′，则BB′＝ABsin45°sin30°＝10×2212＝102(m)，即当坡底伸长102m时，斜坡的坡角将变为30°.【答案】102图1－3－74．如图1－3－7所示，某人在塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40m到D处以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度．【解】在△BDC中，CD＝40m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠DBC＝45°＋90°＝135°.由正弦定理，得CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，∴BD＝CD·sin∠BCDsin∠DBC＝40sin30°sin135°＝202(m)．在Rt△ABE中，tan∠AEB＝ABBE，AB为定值，故要使∠AEB最大，需要BE最小．11即BE⊥CD，这时∠AEB＝30°.在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，∴BE＝BD·sin∠BDE＝202sin15°＝10(3－1)(m)．在Rt△ABE中，AB＝BEtan∠AEB＝10(3－1)tan30°＝103(3－3)(m)，即塔的高度为103(3－3)m.一、填空题1．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．【解析】∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得ACsin60°＝ABsin45°＝2sin45°，AC＝6.【答案】62．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为________米．【解析】如图所示，在Rt△EBD中，∠DBE＝60°，∴BE＝200×33，在Rt△CBE中，CE＝BEtan30°＝20033×33＝2003，∴CD＝4003(米)【答案】4003123．CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，∠ABC＝π3，∠BAD＝23π，AB＝BC＝400米，AD＝250米，则应开凿的隧道CD的长为________．【解析】如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝400米，∠ABC＝π3，∴AC＝AB＝400米，∠BAC＝π3.∴∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝2π3－π3＝π3.∴在△CAD中，由余弦定理，得CD2