1.2.1正弦定理余弦定理应用举例(距离)(高度)(角度)解析

1.2正弦定理余弦定理应用举例1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量:①距离问题、②高度问题、③角度问题、④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.实际应用问题中有关的名称、术语1.仰角、俯角、视角。（1）.当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。（2）.当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。（3）.由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）水平线视线视线仰角俯角2.方向角、方位角。（1）.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于900的水平角叫方向角。（2）.方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。东西北南600300450200ABCD点A在北偏东600，方位角600.点B在北偏西300，方位角3300.点C在南偏西450，方位角2250.点D在南偏东200，方位角1600.3.水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离垂直距离坡面距离坡度（坡度比）i:垂直距离/水平距离坡角α:tanα=垂直距离/水平距离α要测量不可到达的两点间的距离,可用哪些方法?如图:设A、B两点在河的两岸，怎样测量两点之间的距离?AB方案一:构造直角三角形AB在河岸的一侧取一点C,使得AC⊥BCC若能测得AC的长及∠BAC,那么AB即可求出此方案有缺陷吗?如图,设A,B两点在河的两岸.需要测量A,B两点间的距离,测量者在A的同侧河岸边选定一点C.测出AC=55米,求A,B两点间的距离.75ACBBCA∠BAC=45°,【例1】题型分类深度剖析题型一与距离有关的问题如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。..AB..DC基线要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A、B之间的距离.分析题意，作出草图，综合运用正、余弦定理求解.3【例2】解如图所示在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.在△ABC中，由余弦定理，得3sin7562.sin602BC2226262(3)()23cos752232335,5(km).5km.ABABAB、之间的距离为3求距离问题要注意：（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.探究提高(3)阅读课本第11页和第12页的例1,例2的距离测量方法.AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在⊿ACD中，根据正弦定理可得例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法题型二与高度有关的问题练习1如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是和4560，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？AA1BCDC1D1分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在6621836182211BCBA)(365.1911mAABAAB）（答：烟囱的高为.)(365.19m）（练习2在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝75°，在塔底C处测得A处的俯角β＝45°。已知铁塔BC部分的高为30m，求出山高CD.分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β=1350,∠ABC=90°-α=150,∠BAC=α-β=300,∠BAD=α=750.根据正弦定理，ACBABBACBCsinsin23030sin135sin30sinsin00BACACBBCAB所以，151533015315(km)CDBDBC)13(1542623075sin230sin0BADABBD解斜三角形应用题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求；（2）依题意画出示意图；（3）分析与问题有关的三角形；（4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案；（5）注意方程思想的运用；（6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识.探究提高它等于地球椭圆子午线上纬度1分（一度等于六十分，一圆周为360度）所对应的弧长。1海里=1.852公里(千米)(中国标准)nmile：海里，航海上度量距离的单位。没有统一符号例1如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在Ａ处获悉后，测出该渔轮在方位角为４５°，距离为10nmile的Ｃ处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以９nmile/h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以２１nmile/h的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°,时间精确到１min）北北ＡBC105°方位角：指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角．题型三与角度有关的问题北北ＡBC105°解：设舰艇收到信号后xh在Ｂ处靠拢渔轮，则ＡＢ＝21x，ＢＣ＝９x，又AC=10,∠ACB=45°+(180°－105°)=120°.由余弦定理，得：即,cos2222ACBBCACBCACAB2222109cos120(21)(9)10xxx化简得：0109362xx解得：x=２／３（h）=40(min)(负值舍去）由正弦定理，得143321120sin9sinsinxxABACBBCBAC所以∠ＢＡＣ≈21.8°，方位角为45°+21.8°=66.8°答：舰艇应沿着方位角66.8°的方向航行，经过４０min就可靠近渔轮．[例2].在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离Anmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向,距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？分析如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.313则有CD=10t，BD=10t.在△ABC中，∵AB=-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=（-1）2+22-2×（-1）×2×cos120°=6,∴BC=，即∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得∴∠BCD=30°.即缉私船北偏东60°方向能最快追上走私船.3336sin10sin1201sin,2103BDCBDtBCDCDt3解:设缉私船用th在D处追上走私船，2sin1202sin4526ABCABC由正弦定理，1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型.2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值.3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.思想方法感悟提高作业：P132P152