1.2正弦、余弦定理的应用举例

1.2正弦、余弦定理的应用举例距离高度角度sinsinABACCB＝分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离是55m，求两点间的距离（精确到0.1m）ACAC51,75, BACACBAB、例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。一、测量距离1、河两侧的两点间的距离解：根据正弦定理，得sinsinABACACBABCsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7()sin(1805175)sin54ACACBACBABABCABCm答：两点间的距离为65.7米。,AB5175Bγβ分析：用例1的方法可以在在ACD中，可求出AC长；在BCD中，可求出BC长；在ABC中，由AC、BC、δ可求出AB长.PαABDCAγδβa例2、两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。AB、2、河同侧两点间的距离转化为例1解：测量者可以在河岸边选定两点，测得,并且在两点分别测得,.在和中，应用正弦定理得CD、CDaCD、,BCAACD,CDBBDAADCBDCsin()sin()sin()sin180()aaACsinsinsin()sin180()aaBC计算出和后，再在中，应用余弦定理计算出两点间的距离ACBCABCAB222cosABACBCACBCABDCαγδβa在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例1中的，例2中的.在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，精确度越高.ACCD例如，早在1671年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角，测量计算的大小和两地之间的距离，从而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.（如图）我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴长.当然，随着科学技术的发展，还有一些更加先进与准确的测量距离的方法.,ABAB图1.2-3仰角、俯角、视角如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角．由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角叫做视角．数学理论解直角三角形:Rt△ACE和Rt△ADE中,列方程求解.β例3：AB是底部不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的办法．ECDα分析:解斜角三角形:斜△ADC求AC，Rt△ACE中,求AE.二、测量高度1、一个竖直平面内的高度,GH例4在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得处的俯角。已知铁塔部分的高为27.3m，求出山高(精确到1m)BA'=5440CA'=5012BCCDABCD分析：根据已知条件，应该设法计算出或的长ABAC解：在中ABC90BCABACBAD所以根据正弦定理，可得)90sin()sin(ABBC)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，ABCD)(177)1504054sin(4054sin150cos3.27)sin(sincossin,''''mBCBADABBDABDRt得解17727.3149.7150()CDBDBCm答：山的高度约为150米。例5一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角8°，求此山的高度.DABCD82515A82515BCD分析：要测出高,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出的长。CDBC2、立体中的高度例5一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角8°，求此山的高度.（长度精确到1m）DABCD根据正弦定理，解：在中ABC15,A251510CCABABCsinsin).(4524.710sin15sin5sinsinkmCAABBCtantan81047()CDBCDBCBCm答：山的高度约为1047米。A82515BCD15.113137cos0.545.6720.545.67cos22222ABCBCABBCABAC例6一艘海轮从出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛,然后从出发，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛.如果下次航行直接从出发到达,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距离精确到0.01nmile）?ABBCAC解：在中ABC1807532ABC根据余弦定理，得三、测量角sinsinsinsin54.0sin1370.3255,113.15BCACCABABCBCABCCABAC所以，答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15nmile.由正弦定理，得19.0CAB7556CAB借助于正弦定理和余弦定理，我们可以进一步解决一些有关三角形的计算问题，以及一些三角恒等式的证明问题.在中，边上的高分别记为那么容易证明：ABC,,BCCAAB,,,abchhhCABchbhahsinsinsinsinsinsinabchbCcBhcBaChaBbA根据三角形的面积公式，应用以上高的公式12SahsinahbC可以推导出下面的三角形的面积公式：1sin2SabC同理：1sin,2SbcA1sin2ScaB四、三角形面积（1）、面积公式的推导（2）、结论1、面积公式211(1)sin23.514.8sin148.590.9()22ScaBcm解：例7在中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.1cm²)ABC(1)已知14.8,23.5,148.5;acmccmB(2)已知62.7,65.8,3.16;BCbcm（3）已知三边的长分别为41.4,27.3,38.7.acmbcmccmsin(2)51.5,,sinbCAcB2222(3)cos0.7679,sin1cos0.6384,2cabBBBca21sin511.4().2ScaBcm2211sinsinsin4.0().22sinCASbcAbcmB2、求三角形的面积例8在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m，这个区域的面积是多少（精确到0.1m²）?2222221276888cos0.7532,2212768cabBca解：设,根据余弦定理的推论，68,88,127ambmcm2sin10.75320.6578.B1sin,2ScaB应用得21127680.65782840.4().2Sm22840.4.m答：这个区域的面积是3、三角形面积公式的应用).coscoscos(22sinsinsin19222222222CabBcaAbccbaCBAcbaABC）（；）（中，求证：在例证明：sinsinsinabckABC（1）根据正弦定理，可设显然0,k222222222222sinsinsinsinsinsinabkAkBABckCC所以左边右边（2）根据余弦定理的推论，2222222222222bcacababcbccaabbccaab右边（）222abc左边五、三角形中恒等式的证明方法一：边化角方法二：角化边六、海上台风预报问题的研究海上台风预报是天气预报中的一个重要课题，是一个庞大的系统工程.作好海上台风预报对于保护国家财产和人民生命财产安全具有重要的意义。例10、在某海滨城市附近海面有一台风，当前台风中心位于（如图1）的东偏南方向海面处，并以的速度向西偏北方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大.问几个小时后该城市开始受到台风的侵袭？O2(cos)10P20/kmh300km4560km10/kmhrOP45东北Q设在时刻台风中心位于如图所示,此时台风侵袭的圆形区域的半径为，则时刻城市受到台风侵袭的条件为()thQtO解：由余弦定理知2222cosOQPQPOPQPOOPQ容易计算得：4coscos(45)5OPQ于是可以得到2224(20)300220300(1060)5ttt解得1224t答：12小时后该城市受到台风侵袭，24小时后风过天晴。rOP45东北1060()tkm1060OQtOQ45P11545ASBSBAS解：在中，＝，，sin2016.1sin207.787()sin45sin45ABSBnmile,sin657.06()SABhhSBnmile设点到直线的距离为则6.5hnmile此船可以继续沿正北方向航行答：此船可以继续沿正北方向航行练习1、一艘船以32.2nmile/hr的速度向正北航行。在处看灯塔S在船的北偏东20o的方向,30min后航行到处，在处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？ABB由正弦定理得（1）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度（2）例题中涉及一个怎样的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？CAB练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为,AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．'620最大角度最大角度最大角度最大角度已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m。练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为,AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．'620222222cos1.951.4021.951.40cos66203.571BCABACABACA1.89(m)BCCBA回顾小结解斜三角形应用中应注意的问题：(1)认真分析题意，将已知元素和未知元素弄清楚，根据题意画出示意图.(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，将实际问题中的数量关系归结为数学问题.(3)在选择关系式时，一是要力求简便；二是尽可能使用题中原有的已知数据，尽量减少计算中误差的积累，并根据题目要求的精确度确定答案及注明单位.