2012年高考第一轮总复习精品导学课件：12.2数列的极限

第十二章极限与导数第讲考点搜索●数列极限的含义，数列极限的四则运算法则●数列极限的基本公式高高考猜想1.在数列背景下求极限.2.转化极限条件，求相关参数的取值范围.1.如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的第n项an无限地①于某个常数a(即|an-a|无限地接近于②)，那么就说数列{an}的极限为a，或者说a是数列{an}的极限，记作2.如果，那么③;④;⑤(b≠0).特别地，如果C是常数，那么⑥.趋近0a±babC·alim.nnaalimnnaalimnnbb，lim()nnnablim()nnnablim()nnnablimnnCaab3.常见的数列的极限(1)若C为常数，⑦.(2)=⑧(其中k＞0为常数).(3)若|q|＜1，q为常数，则=⑨.(4)设无穷等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若|q|＜1，则=⑩.C00limnC1limnknlimnnqlimnnS11aq1.下列极限正确的个数是()A.2B.3C.4D.都不正确解:①③④正确.故选B.B1lim0(0);lim0;23lim1;lim().23nnnnnnnnnqnCCC＞　　　　　常①②③④为数2.等于()A.0B.1C.2D.3解:C1111lim11(1)(1)3452nnn［］1111lim11(1)(1)345223412lim()lim2.34522nnnnnnnnnn［］3.下列四个命题中正确的是()解:排除法：取an=(-1)n，排除A；取an=，排除B；取an=bn=n，都不存在，排除D.C2222A.limlimB.0lim0C.limlimD.lim0limlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnaAaAaaAAaAaAabab则则则则若，若＞，，＞若，若，1nlimlimnnnnab题型1求代数式的极限1.求下列极限：22222222111123423411111lim4;1112lim111;233lim();34lim(0).3nnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCnaaa为数＞，且常解：(1)原式(2)原式244limlim2.4411nnnnnnn2222222222222131411lim23411132435lim23411lim.22nnnnnnnnnn(3)原式=3111limlim22343!(1)21111limlim.232331nnnnnnnnCnnnnnnnnn(4)当a＞3时，原式=当a=3时，原式=当0＜a＜3时，原式1131lim1;391nnnaa11231lim;834nnn11113lim.993nnnaa点评：求根式型数列的极限一般是先分子有理化；求分式型数列的极限一般先对分式进行通分、约分；求含参数的数列的极限注意分类讨论.(1)若求a和b的值.(2)已知求a的取值范围.解：(1)21lim01nnanbn，131lim331nnnna，2222111111.1nnananbnbanbnnanabnbn　　由已知，得即a=1，b=-1.(2)因为所以所以，所以-4＜a＜2.故a的取值范围是(-4，2).21lim01nnanbn1-a=0a+b=0，1311limlim313133nnnnnnaa，1lim03nna，1||13a＜题型2数列背景下的极限问题2.已知数列{an}、{bn}与函数f(x)、g(x)，x∈R满足条件：b1=b，an=f(bn)=g(bn+1)(n∈N*).若f(x)=tx+1(t≠0，t≠2)，g(x)=2x，f(b)≠g(b)，且存在，求t的取值范围，并求(用t表示).解法1：由题设知，得an+1=t2an+1.又已知t≠2，可得limnnalimnnaan+1=tbn+1+1an=2bn+1122().222nntaatt由f(b)≠g(b)，t≠2，t≠0，可知所以{}是等比数列，其首项为，公比为.于是即又存在，可得0＜||＜1，所以-2＜t＜2且t≠0.故12200222tatbtt，，22nat22tbt2t122222nntatbtt（）（），122.222nntatbtt（）（）limnna2t2lim.2nnat解法2：由题设知tbn+1=2bn+1，且t≠2，可得由f(b)≠g(b)，t≠2，t≠0，可知所以{}是首项为下，公比为的等比数列.111.222nntbbtt10022tbt，，12nbt12bt2t所以即由an=2bn+1可知，若存在，则存在.于是可得0＜||＜1，所以-2＜t＜2且t≠0.故111222nntbbtt（）（），111222nntbbtt（）（），limnnalimnnb2t12lim2lim.2nnnnabt点评：涉及到单个数列的极限的问题，一般是利用求无穷等比数列和的极限方法进行求解.注意无穷等比数列和的极限存在的充分条件在解题中的转化.已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1=3，且满足lgan=lgan-1+lgc，其中n是大于1的整数，c是正数.(1)求数列｛an｝的通项公式及前n项和Sn；(2)求的值.解:(1)由已知得an=c·an-1,所以｛an｝是首项a1=3，公比为c的等比数列，则an=3·cn-1.112lim2nnnnnaa所以Sn=(2)①当c=2时，原式=-;②当c＞2时，原式③当0＜ｃ＜2时，原式3n(c=1)31(01).1ncccc　　　且1111223limlim.223nnnnnnnnnnacac1４11231lim;223nnncccc（）（）112131lim.2223nnnccc（）（）1.求数列的极限的基本思路是：先将表达式作适当变形，使得各部分的极限都存在，且分母的极限不为0，再利用极限的运算法则求解.对于项数与n有关的和(或积)的极限，应先求和(或积)，再求极限.2.若分式的分母的极限为0，一般要通过分母有理化，或分子、分母分解因式约分等手段，改变分式结构，使分母的极限不为0，进而求解.3.将分式的分子、分母同除以某个式子，使各部分都化为基本极限的形式，是求解分式表达式的极限的常用手段.4.求极限式中的参数值，一般运用方程思想求解.利用极限存在的条件和极限值，建立关于参数的方程(组)，是解题的关键.5.利用等恒等式，转化某些极限条件，是一种有效的手段，也是一种变换技巧，须灵活掌握.·nnnnnnnnaabaabbb，