2012年高考第一轮总复习精品导学课件：5.5解斜三角形及其应用举例(第1课时)

第五章平面向量第讲（第一课时）考点搜索●关于三角形边、角的主要关系式●利用正、余弦定理判断三角形的形状●利用正、余弦定理及三角形面积公式等解三角形●正、余弦定理的综合运用高考猜想高考常以选择题、填空题出现，考查正、余弦定理；也经常以应用题的形式出现在大题中，考查三角函数与平面向量知识的综合运用，这是高考的热点.1.三角形的内角和等于180°.2.三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.3.三角形中大边对大角，小边对小角.4.正弦定理=①______________________________.5.勾股定理c2=a2+b2(其中c为直角三角形的斜边).sinsinsinabcABC2R(R为△ABC的外接圆半径)6.余弦定理c2=②_______________;cosC=③_______________.7.三角形的面积公式:(其中h是边a上的高).8.由A+B+C=π，易推出：(1)sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C)，tanA=-tan(B+C).a2+b2-2abcosC222-2abcab12Sah1sin.2SabC(2)sincos,cossin,tancot.222222ABCABCABC1.在△ABC中，AB是sinAsinB的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解法1：sinAsinB--sin()-sin(-)02222-2cossin0.22ABABABABABABC在△ABC中，所以sinAsinB故选C.解法2：在△ABC中，sinAsinB.故选C.-0,-,22222ABAB-sin0.2ABAB22abRRabAB在△ABC中，角A、B、C所对的边长别为a、b、c.若C=120°，c=a，则()A.abB.abC.a=bD.a与b的大小关系不能确定A解：因为c2=a2+b2-2ab·cosC，c=a，所以2a2=a2+b2-2ab·cosC，所以a2=b2-2ab·cos120°=b2-2ab·(-)=b2+ab，所以a2-b2=ab，所以a2b2，即ab，故选A.123.△ABC中,已知,且S△ABC=，则的值是()A.2B.C.-2D.-解：△ABC中，已知故选C.sin:sin:sin1:1:2ABC12ABBCBCCACAAB22sin:sin:sin1:1:2ABC,2,,24bacaCAB21111,2.2223321cos012cos-2.44ABCSaabcABBCBCCACAABC1.(原创)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=1，c=.(1)若C=，则角A=_________；(2)若A=，则边b=_________.题型1利用正弦定理解三角形33662或1解:(1)由正弦定理得又a＜c，所以A＜C，所以A=.(2)同理由得得C=或.当C=时，B=，可得b=2；当C=时，B=，可得b=1.故(1)中填；(2)中填2或1.,sinsinacACsin1sin.2aCAc6,sinsinacACsin3sin.2aCAc632332236点评：已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意对解的情况进行讨论，讨论时一是根据所求的正弦值是否大于1，二是根据两边的大小关系确定解的情况.(2010·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为__________．22解：由已知sinB+cosB=，两边平方整理得1+sin2B=2，即sin2B=1，又B为三角形的内角，故2B=，即B=.据正弦定理可得=，即=，解得sinA=.又由于ab，据大角对大边原则，即AB=，故A=.224asinAbsinB2sinA24sin12462.(原创)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足b2=a2+c2+ac.(1)求角B的度数；(2)若b=，a+c=5(ac)，求cosA的值.解：(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及条件可得:-2accosB=ac,即cosB=-,所以B=120°.(2)由b2=a2+c2+ac，得b2=(a+c)2-ac，即19=25-ac，所以ac=6.题型2利用余弦定理解三角形1912由得或由余弦定理得点评：余弦定理的直接应用有两个方面:一是已知三边(或三边的关系)可用余弦定理求角,二是已知两边及一角求第三边.5,6acac32ac2.3()ac舍去222-719cos.238bcaAbc在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a=4，b+c=6，且b＜c，求b、c的值.解：由得由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，即a2=(b+c)2-2bc-2bccosA,即,所以bc=8.由可得1cos4ABAC，，1cos4ABAC，，1cos.4A51636-2bc68bcbcbc，2.4bc3.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边.已知a、b、c成等比数列，且a2-c2=ac-bc，求:(1)A的大小；(2)的值.解：(1)因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，又a2-c2=ac-bc，所以b2+c2-a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得所以A=60°.题型3解斜三角形sinbBc222-1cos222bcabcAbcbc，(2)解法1:在△ABC中,由正弦定理得因为b2=ac，A=60°，所以解法2:在△ABC中，由面积公式得因为b2=ac,A=60°,所以bcsinA=b2sinB，所以sinsin.bABa11sinsin.22bcAacBsin3sin.2bBAc2sinsin603sin60.2bBbcca点评：已知三个独立的条件(至少有一个是边的条件)来解斜三角形，关键是正确选用正弦定理(或余弦定理)及对定理公式的应用.若涉及面积问题时，还需用到面积公式：111sinsinsin.222SabCacBbcA如图，在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=.(1)求AB的值；(2)求sin2A的值.解：(1)由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC那么，AB=.34341-22124，2(2)由cosC=且0＜C＜π，得由正弦定理得所以cosA=.由倍角公式得sin2A=2sinAcosA=.3427sin1-cos4CC，sinsinABBCCA，sin14sin8BCCAAB，52857161.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边角转换.2.用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形的内角或应用向量的模求三角形边长等.3.在判断三角形形状或解斜三角形时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.4.用向量的数量积求三角形内角时，需通过向量的方向判断向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.