概率统计韩旭里谢永钦版3章课件

第三章随机向量第一节二维随机向量及其分布第二节边缘分布第三节条件分布第四节随机变量的独立性第五节两个随机变量的函数的分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E是一个随机试验，它的样本空间是={e}.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为上的二维随机向量或二维随机变量。简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y，称二元函数F(x,y)=P{Xx，Yy}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。第一节二维随机向量及其分布上一页下一页返回(X,Y)的分布函数满足如下基本性质：(2)0F(x,y)1(1)F(x,y)是变量x,y的不减函数.0),(,yFy对于任意的0),(,xFx对于任意的1),(0),(FF，)0,(),(),0(),(,),()3(yxFyxFyxFyxFyxyxF，是右连续的，即关于0),(),(),(),(,,),(),()4(1121122221212211yxFyxFyxFyxFyyxxyxyx有，和对于任意上一页下一页返回2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y)为二维离散型随机向量。设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,…，且(X,Y)取各对可能值的概率为P{X=xi，Y=yj}=pij，i,j=1,2,…(1)非负性:pij≥0，i，j=1，2…；1)2(,jiijp规范性：上一页下一页返回的联合分布律。和或随机变量的概率分布或分布律，离散型随机变量为二维称YXYXjipYYxXPij),(,...)2,1,(},{上一页下一页返回(X,Y)的分布律也可用表格形式表示YXy1y2…yj…x1x2..xip11p12…p1j…p21p22…p2j…......pi1pi2pij…上一页下一页返回例1:从一个装有2个红球,3个白球和4个黑球的袋中随机地取3个球,设X和Y分别表示取出的红球数和白球数,求(X,Y)的分布律,并求P{X≤1,Y2},P{X+Y=2},及P{X=1}.解:X的可能值为0,1,2,Y的可能为0,1,2,3.(X,Y)的所有可能值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).由古典概率计算可得上一页下一页返回于是(X,Y)的分布可用表示YX01230124/8418/8412/841/8412/8424/846/8404/843/8400由(X,Y)的分布律,所求概率为上一页下一页返回上一页下一页返回3、二维连续型随机变量定义5：设(X,Y)为二维随机向量,(X,Y)的分布函数为F(x,y).若存在非负二元函数f(x,y),对于任意实数x,y，有上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回11y=xoxy1Oyx1Oyx1Oyx上一页下一页返回设G是平面上的有界区域,其面积为S,若二维随机变量(X.,Y)的概率密度为设(X,Y)在区域G上服从均匀分布,D为G内的一区域,即DG,且D的面积为S(D),那么二维均匀分布则称(X,Y)在区域G上服从均匀分布.上一页下一页返回若(X.,Y)的概率密度为二维正态分布上一页下一页返回4、n维随机变量设E是一个随机试验,它的样本空间是=(e).设随机变量是定义在同一样本空间上的n个随机变量，则称向量为n维随机向量或n维随机变量。简记为设是n维随机变量，对于任意实数,称n元函数为n维随机变量的联合分布函数。上一页下一页返回X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数，分别记为FX(x),FY(y)。当已知(X,Y)的联合分布函数F(x,y)时，可通过求得两个边缘分布函数第二节边缘分布上一页下一页返回例1：设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为上一页下一页返回上一页下一页返回1、二维离散型随机变量的边缘分布上一页下一页返回≠上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回2、二维连续型随机变量的边缘分布设(X,Y)为二维连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，则从而知，X为连续型随机变量且概率密度为同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为上一页下一页返回yOx上一页下一页返回第三节条件分布1、二维离散型随机变量的条件分布律定义6:上一页下一页返回例1：一射手进行射击,每次射击击中目标的概率均为p(0p1)且假设各次击中目标与否相互独立,射击进行到击中目标两次为止.设以X表示到第一次击中目标所需要的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求(X,Y)的联合分布律和条件分布律.解:由题意,{X=i}表示第i次首次击中目标,{Y=j}表示第j次击中目标,因而ij,{X=i,Y=j}表示第i次和第j次击中目标而其余j-2次均未击中目标.于是(X,Y)的联合分布律为：上一页下一页返回上一页下一页返回LL,2,1}|{,,2,11122iijpqpqqpiXjYPYiXiijij的条件分布律为下在条件对于固定的上一页下一页返回2、二维连续型随机变量的条件分布定义7：对固定的实数y，设对于任意给定的正数ε，P{y-εY≤y+ε}0,且若对于任意实数x，极限存在，则称此极限为在Y=y的条件下X的条件分布函数，记作P或记为.同样,在X=x条件下随机变量Y的条件分布函数上一页下一页返回设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y)。若在点(x,y)处f(x,y)连续，边缘概率密度fY(y)连续，且fY(y)0，则有：亦即上一页下一页返回类似地在相应条件下可得在X=x条件下Y的条件概率密度为若记为条件Y=y下X的条件概率函数，则由上式知：上一页下一页返回且有边缘概率密度当－1y1时有：解：(X,Y)的概率密度为例2：设随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)∣x2+y2≤1}上服从均匀分布，求条件概率密度。上一页下一页返回特别y=0和y=时条件概率密度分别为类似于条件概率的乘法公式，也有上一页下一页返回设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数，(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于第四节随机变量的独立性定义8：设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随机变量X与Y相互独立。由独立性定义可证“若X与Y相互独立，则对于任意实数x1x2,y1y2,事件{x1X≤x2}与事件{y1Y≤y2}相互独立”。上一页下一页返回结论推广：“若X与Y独立，则对于任意一维区间I1和I2，事件{X∈I1}与{Y∈I2}相互独立”。P{x1X≤x2,y1Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)=FX(x2)FY(y2)-FX(x2)FY(y1)-FX(x1)FY(y2)+FX(x1)FY(y1)=[FX(x2)-FX(x1)][FY(y2)-FY(y1)]=P{x1X≤x2}P{y1Y≤y2}所以事件{x1X≤x2}与{y1Y≤y2}是相互独立的。当（X,Y）为离散型或连续型随机向量时，可用它的分布律或概率密度来判别X与Y的独立性。上一页下一页返回例1:设二维随机变量(X,Y)的分布律如表所示。XY-102-1/22/201/202/2012/201/202/201/24/202/204/20问X与Y相互独立吗？解:X与Y的边缘分布律分别为X-1/211/2pi.1/41/41/2Y-102p.j2/51/52/5逐一验证可知，pij=pi.·p.j（i=1,2,3,j=1,2,3）。从而X与Y相互独立。上一页下一页返回例2:设X和Y都服从参数为1的指数分布，且相互独立，试求P{X+Y1}。由于X与Y相互独立，所以(X,Y)的概率密度为于是解:设fX(x),fY(y)分别为X和Y的概率密度，则上一页下一页返回第五节两个随机变量的函数的分布1、二维离散型随机变量的函数分布Y12101/321/31/3例设（X,Y）分布律为求XY,XY,XY及X/Y的分布.解：先列出下表X上一页下一页返回P01/31/31/3(X,Y)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)XY2334XY0110XY1224X/Y11/221于是X+Y的分布律为X+Y234P02/31/3上一页下一页返回同理X-Y的分布律为XY101P1/31/31/3X/Y124P02/31/3XY及X/Y的分布律分别为XY124P02/31/3上一页下一页返回设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情况下，Z是一连续型随机变量。为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数2、二维连续型随机变量的函数分布上一页下一页返回即首先找出上式右端的积分区域Dz。如果求得了FZ(z),那么可通过求出Z的概率密度。求解过程中，关键在于将事件{Z≤z}等价地转化为用(X,Y)表示的事件{g(X,Y)≤z}={(X,Y)},其中。上一页下一页返回例1：设且X与Y相互独立，求的概率密度。由于X与Y相互独立，于是(X,Y)的概率密度为先求Z的分布函数FZ(z)解：X和Y的概率密度分别为当z0时FZ(z)=0当z≥0时上一页下一页返回所以于是可得的概率密度上一页下一页返回如果一随机变量的概率密度为上式，称该随机变量服从参数为的瑞利分布。由题可知，若X,Y独立服从同一分布则服从参数为的瑞利分布。设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，现求Z=X+Y的概率密度。令，则Z的分布函数为(1)和的分布上一页下一页返回固定z和y对积分作换元法，令x+y=u得于是：上一页下一页返回由概率密度定义，即得Z的概率密度为由X与Y的对称性，又可得当X与Y相互独立时，有其中分别是X和Y的密度函数。上一页下一页返回证：由定义，Z=X+Y的概率密度为当z≤0时fZ(z)=0证明：X+Y服从参数为的分布例2：设X，Y是相互独立且分别服从参数1,和2,的分布，即X，Y的概率密度分别为上一页下一页返回当z0时,上一页下一页返回综上所述，Z=X+Y的概率密度为这正是参数为的分布的概率密度。上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回XYXY上一页下一页返回解:(1)串联情况XY上一页下一页返回(2)并联情况XY上一页下一页返回