第7章矩阵的特征值和特征向量讲解

数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS第7章矩阵的特征值和特征向量很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大。数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS特征值：0)det()(AIPA的根为矩阵A的特征值特征向量：满足Avvi的向量v为矩阵A的对于特征值的i)(AP称为矩阵A的特征多项式是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根来求矩阵的特征值。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，从而求得所有特征值的近似。)(AP特征向量数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS7.1幂法矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如：矩阵的谱半径。幂法就是一种求矩阵按模最大特征值的方法，它是最经典的方法。幂法要求A有完备的特征向量系，即A有n个线性无关的特征向量。在实践中，常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征值和特征向量如下：nnvvv2121特征值：特征向量：幂法可以求11v，基本思想很简单。数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS设n1iiv线性无关，取初值)0(x，作迭代)0(1)()1(xAAxxkkk设：nnvvvx2211)0(nknnkknknkknnkkvvvvAvAvAvvvAx22211122112211)()(则有：数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS（1）若：n21nnknkkkvvvx12212111)(01则k足够大时，有111)(vxkk1111)1(vxkk可见)1()(,kkxx几乎仅差一个常数1)1(1)()1(1/kkkxvxx所以：任意分量相除特征向量乘以任意数，仍是特征向量数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS（2）若：21321,nnnknkkkvvvx122111)(122111)(1vvxkkk则k足够大时，有21)12()12(21)2()22(//kkkkxxxx所以：)(1)1(2)(1)1(1kkkkxxvxxv所以：数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS算法：1、给出初值，计算序列)()1(kkAxx2、若序列表现为，相邻两个向量各个分量比趋向于常数)(1)()1(1/kkkxvxx若序列表现为，奇偶序列各个分量比趋向于常数，则)(1)1(2)(1)1(1)()2(1/kkkkkkxxvxxvxx若序列表现为其他，退出不管数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS求矩阵A的按模最大的特征值解取x(0)=(1,0)T,计算x(k)=Ax(k-1),结果如下例61515141Akx1(k)x2(k)x1(k)/x1(k-1)x2(k)/x2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取0.41263,x1(0.017451,0.014190)T.数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS()(1)111knkkkiiiixAxv决定收敛的速度，特别是|2/1|希望|2/1|越小越好。不妨设12…n，且|2||n|。12nOp=(2+n)/2思路令B=ApI，则有|IA|=|I(B+pI)|=|(p)IB|Ap=B。而，所以求B的特征根收敛快。||||||||1212pp数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICSnnknkkkvvvx12212111)(在幂法中，我们构造的序列可以看出1,1,0,11)(kxk因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归0数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS改进－幂法的规范运算)1()1()1()()1(/kkkkkxxyAyx则，易知：1//)1()0()()0()()()(kkkkkkyxxyAxAyy)0()0()(/yAyAykkk所以，有：最大分量为1数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICSnnknkknnknkkkvvvvvvy1221211112212111)(即（1）若：n210,0,1111111111)(vvvvyk111111)(vvykkk数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS)0()0(1)()1(/yAyAAyxkkkknnknkknnknkkkvvvvvvx122121111221121111)1(nnknkknnknkkkvvvvvvx1221211111221121111)1(数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS11111111)1(vvxkkk01时，有)(1)1(1kkyvx01时，有)(1)1(1kkyvx)(ky收敛)12()2(,kkyy分别收敛到反号的两个数数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS（2）若：21321,nnnknkknnknkkkvvvvvvy122111122111)(11)12()2(,kkyy分别收敛到两个向量，且不是互为反号。数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS(1)()(2)(1)mmmmxAyxAx求：则：(2)()1/mmxy(2)(1)11(2)(1)21mmmmvxxvxx数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS算法：1、给出初值，计算序列)(ky2、若序列收敛，则(1)()11,kkxvy若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数互为反号，则(1)()11,kkxvy若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数不互为反号，则(2)()1(2)(1)11(2)(1)21/mmmmmmxyvxxvxx)1()2()()1(mmmmAxxAyx数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS反幂法vvAvAv11所以，A和A－1的特征值互为倒数nnAA21121::1ii这样，求A－1的按模最大特征值，就可以求出A的按模最小特征值)1()1()1()(1)1(/kkkkkxxyyAx为避免求逆的运算，可以解线性方程组)()1(kkyAx数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS若知道某一特征根i的大致位置p，即对任意ji有|ip||jp|，并且如果(ApI)1存在，则可以用反幂法求(ApI)1的主特征根1/(ip)，收敛将非常快。思路数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS7.1Jacobi方法－对称阵P为n阶可逆阵，则A与P－1AP相似，相似阵有相同的特征值。若A对称，则存在正交阵Q(QTQ=I)，使得nTAQQ21直接找Q不大可能。我们可以构造一系列特殊形式的正交阵Q1,...,Qn对A作正交变换使得对角元素比重逐次增加，非对角元变小。当非对角元已经小得无足轻重时，可以近似认为对角元就是A的所有特征值。Jacobi方法就是这样一类方法。数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS1、Givens旋转变换对称阵),,(qpQ为正交阵1cossinsincos1),,(qpQp列q列数学系UniversityofScienceandTechnologyofChinaDEPARTMENTOFMATHEMATICS记：)(),,(),,(,)(ijTijbqpAQqpQBaA则：2sin22cos2sincossin2sinsincos,,cossin,,sincos2222qqpppqqppqpqqqpppppqqqppppqipiqiiqqipipiipa