高观点下的中学数学《期末考核》--高等数学背景下的导数问题

高等数学背景下的导数问题J13207王鹏程随着高中新课程改革的深入，大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多，如选修4部分。而实际上在必修部分新增的内容就已足够值得关注，这些内容的变化很有可能是高考试卷今后命题的趋势。导数部分内容就丰富了很多。如指数函数、对数函数及分是函数的求导就使得我们的研究范围不仅仅局限在多项式函数主要是三次函数的系列问题。我们还要指导学生通过类比的手段利用导数研究函数的单调性、极值点，作出函数的示意图，通过直观化解决超越函数的有关问题。另外，随着高考命题自主化的深入，越来越多的省和地区开始尝试自己命题，而在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。函数图像的凸凹性，导数中的拐点，拉格朗日中值定理，李普希茨条件……虽然高考考试没有要求学生掌握但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。一、函数的拐点问题例1（2007湖南文21）已知函数3211()32fxxaxbx在区间[11)，，(13]，内各有一个极值点．（I）略；（II）当248ab时，设函数()yfx在点(1(1))Af，处的切线为l，若l在点A处穿过函数()yfx的图象（即动点在点A附近沿曲线()yfx运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数()fx的表达式．解析：（II）思路一：由(1)1fab知()fx在点(1(1))f，处的切线l的方程是(1)(1)(1)yffx，即21(1)32yabxa，因为切线l在点(1())Afx，处过()yfx的图象，所以21()()[(1)]32gxfxabxa在1x两边附近的函数值异号，则1x不是()gx的极值点．而()gx321121(1)3232xaxbxabxa，且22()(1)1(1)(1)gxxaxbabxaxaxxa．若11a，则1x和1xa都是()gx的极值点．所以11a，即2a，又由248ab，得1b，故321()3fxxxx．解法二：同解法一得21()()[(1)]32gxfxabxa2133(1)[(1)(2)]322axxxa．因为切线l在点(1(1))Af，处穿过()yfx的图象，所以()gx在1x两边附近的函数值异号，于是存在12mm，（121mm）．当11mx时，()0gx，当21xm时，()0gx；或当11mx时，()0gx，当21xm时，()0gx．设233()1222aahxxx，则当11mx时，()0hx，当21xm时，()0hx；或当11mx时，()0hx，当21xm时，()0hx．由(1)0h知1x是()hx的一个极值点，则3(1)21102ah，所以2a，又由248ab，得1b，故321()3fxxxx点评本题中“l在点A处穿过函数()yfx的图象”实际上是指点A处是函数的拐点。有关拐点的问题，在讲解极值点内容时举的最多的例子就是函数3xy。在0x处虽然导函数值为0，但不是极值点，左右两边的单调性相同。从数来看，0x使导函数所对应方程的偶次重根。所以本例中可知1x是0)('xg重根。二、函数的凸凹性例2.)1ln()1()(xxxf若对所有的x都有axxf)(成立，则实数a的取值范围是_____.解析：,设.)1ln()1()()(axxxaxxfxF则axxF1)1ln()(',由,0)('xF得1aex。注意到F(0)=0，若在定义域有极值则比在区间(0,+∞)外.即另解：f(x)的示意图如图，由图可知直线y=ax在区间(0,+∞)上恒在y=f(x)图像下方，所以a≤1.点评：本题注意)(xf的图像过定点(0,0)考虑数形结合就会带来一个问题：虽然可以证明函数是单调递增函数，但是递增的形式是类似3xy还是类似xyln即函数的凸凹性。我们也可以通过再求导，探讨切线斜率的增减性来确定函数图像递增的趋势即凸凹性。三、拉格朗日中值定理例3.(南通2008第二次调研考试.19)已知函数).1,0(log)(,221)(2aaxxgxxxfa如果)()()(xgxfxh是增函数，且)('xh存在零点（)('xh为)(xh的导函数。（1）求a的值；（2）设))(,(),,(212211xxyxByxA是函数)(xgy的图像上两点，12120)('xxyyxg的导函数。证明：.201xxx解析：（1）略。a=e。（2）由（1）得1212121200lnln1)(',1)(',ln)(xxxxxxyyxxgxxgxxg即12120lnlnxxxxx.1212122212121221212202lnlnlnlnlnln)()ln(lnlnlnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx将2x换成x构造函数11lnln)(xxxxxxxH，定义域为),(21xxx则1lnln)('xxxH，),(21xxx0)('xH即)(xH在定义域),(21xx上单调增，0)()(1xHxH。即.02xx同理可证.01xx点评：本道题目背景是拉格朗日中值定理中值定理：若函数)(xf是在闭区间[a,b]上连续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则(a,b)至少存在一点0x，使得abafbfxf)()()('0。而我们解决这一问题的手段是通过构造函数，利用导数证明单调性，从而求证不等式。我们学过的指数、对数函数，正弦、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理。仿照例3，请尝试证明下面题目。1、证明:当0ab时，.lnaababbab2、已知函数0,,,)(23mRnmnxmxxf的图像（2，)2(f）处的切线与a轴平行。（1）求m,n的关系式并求f(x)单调递减区间；（2）证明对于任意实数,1021xx关于x的方程1212)()()(xxxfxfxf在),(21xx恒有实数解。例4.函数.,2)(3Rxxxxfa=0时，曲线)(xf的切线斜率范围记为集合A，曲线)(xf上不同两点),(),,(2211yxQyxP，连线斜取值率范围记为集合B，你认为集合A、B之间有怎样的关系，并证明你的结论。解析：AB2)(3xxxf有113)('2xxf故),1[A设PQ斜率为k，则212132312121)()()()(xxxxxxxxxfxfk=1222121xxxx=143)2(22221xxx21xx故若,02x有.02121xxx若,0221xx有,0221xx得02x143)2(22221xxx1，即k1.),1(B.AB点评：注意到割线k的表示形式)(')()(02121xfxxxfxfk，),(210xxx定义域D，联系拉格朗日定理，易证若AkBk.可将本题推广到任意曲线割线斜率的范围组成的集合B是切线范围组成集合A的子集这一结论。下面一题就很容易了。已知函数baxxxf23)(，求证：若)(xfy图像上任意不同两点连线的斜率都不大于1，则.33a