空间解析几何-第2章-空间的平面与直线

2020/2/12解析几何第2章空间的平面与直线xyzo0MM如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知},,,{CBAn),,,(0000zyxM设平面上的任一点为),,(zyxMnMM0必有00nMMn一、平面的点法式方程§2.1.1平面的方程},,{0000zzyyxxMM0)()()(000zzCyyBxxA平面的点法式方程平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．其中法向量},,,{CBAn已知点).,,(000zyx例1求过三点)4,1,2(A、)2,3,1(B和)3,2,0(C的平面方程.解}6,4,3{AB}1,3,2{AC取ACABn},1,9,14{所求平面方程为,0)4()1(9)2(14zyx化简得.015914zyx例2求过点)1,1,1(，且垂直于平面7zyx和051223zyx的平面方程.},1,1,1{1n}12,2,3{2n取法向量21nnn},5,15,10{,0)1(5)1(15)1(10zyx化简得.0632zyx所求平面方程为解例3已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段MN的垂直平分面方程。由平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA0)(000CzByAxCzByAxD0DCzByAx平面的一般方程法向量}.,,{CBAn二、平面的一般式方程？即任一平面表示0DCzByAx（A,B,C不同时为零）不妨设0A，则000zCyBADxA，为一平面.平面一般式方程的几种特殊情况：,0)1(D平面通过坐标原点；,0)2(A,0,0DD平面通过轴；x平面平行于轴；x,0)3(BA平面平行于坐标面；xoy类似地可讨论情形.0,0CBCA0,0CB类似地可讨论情形.0DCzByAx平面的一般方程,0)4(DBA.,0面即有xoyz设平面为,0DCzByAx由平面过原点知,0D由平面过点)2,3,6(知0236CBA},2,1,4{n024CBA,32CBA.0322zyx所求平面方程为解例4设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，求此平面方程.例5求通过点M(2,-1,1)与N(3,-2,1)，且平行于z轴的平面的方程设平面为,0DCzByAx将三点坐标代入得,0,0,0DcCDbBDaA,aDA,bDB.cDC解例6设平面与zyx,,三轴分别交于)0,0,(aP、)0,,0(bQ、),0,0(cR（其中0a，0b，0c），求此平面方程.,aDA,bDB,cDC将代入所设方程得1czbyax平面的截距式方程x轴上截距y轴上截距z轴上截距xyzoabc设平面为,1czbyaxxyzo,1V,12131abc由所求平面与已知平面平行得,611161cba（向量平行的充要条件）解例7求平行于平面0566zyx而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.,61161cba化简得令tcba61161,61ta,1tb,61tcttt61161611代入体积式,61t,1,6,1cba.666zyx所求平面方程为或.666zyx2020/2/12已知平面上一点和不共线两个向量,求通过该点与两向量平行的平面——点位式/坐标式参数方程点位式（2.1.3或2.1.4）坐标式参数方程(2.1.2)2020/2/12已知不共线的三点,求通过三点的平面——三点式方程(2.1.6)向量式法式方程(2.1.10)坐标式法式方程(2.1.11)以上共介绍了多少种方法?哪些方法适用于仿射坐标系?哪些方法适用于直角坐标系?练习11.通过点M(3,1,-1)和N(1,-1,0)且平行于矢量{-1,0,2}的平面.2.通过点M(1,-5,1)和N(3,2,-2)且垂直于xOy坐标面的平面.3.已知四点(5,1,3),B(1,6,2),C(5,0,4),D(4,0,6),求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与三角形ABC所在平面垂直的平面.4.过点M(3,2,-4)且在x轴和y轴上截距分别为-2和-3的平面5.已知两点M1(3,-1,2)和M2(4,-2,-1)，通过M1且垂直于M1M2的平面6.已知平面上三点A(3,-1,2)B(4,-2,-1)C(3,2,-4)，求平面方程。求通过直线，且在y轴与z轴上截距相等的平面方程xyzo12定义空间直线可看成两平面的交线．0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程L（注：两平面不平行）一、空间直线的一般方程§2.1.2空间直线的方程xyzo方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．sL),,,(0000zyxM0MM,LM),,,(zyxMsMM0//),,,(pnms},,{0000zzyyxxMM二、空间直线的对称式方程pzznyymxx000直线的对称式方程（标准方程、点向式方程）,:pzznyyxx,p,nm0000000时，方程仍然写为为零时，比如当方向向量的某个坐标注,时，方程也仍然写为标为零时，比如当方向向量的某两个坐pzzyyxx,p,nm00000000pzznyyxx0000线此时理解为二平面的交(考虑其几何意义)理解为交线0000yyxx因此,所求直线方程为22121zyx例1求过点(1,0,-2)且与平面3x+4y-z+6=0平行,又与直线垂直的直线方程.14213zyx解:设所求线的方向向量为,s已知平面的法向量),1,4,3(n已知直线的方向向量,1,4,11s取1sns1411431kjisns2,1,248,4,8三、空间直线的参数式方程直线的一组方向数tpzznyymxx000令ptzzntyymtxx000方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程pzznyymxx000由直线的对称式方程例2用对称式方程及参数方程表示直线.043201zyxzyx解在直线上任取一点),,(000zyx取10x,063020000zyzy解得2,000zy点坐标),2,0,1(因所求直线与两平面的法向量都垂直取21nns),3,1,4(对称式方程,321041zyx得参数方程.3241tztytx,321041tzyx令解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(B取BAs),4,0,2(所求直线方程.440322zyx.44223zxy或例3一直线过点)4,3,2(A，且和y轴垂直相交，求其方程..2020/2/12四、空间直线的两点式方程(2.1.15)另,直角坐标系下的参数式和对称式,即直线l的方向向量可取成单位向量(方向余弦),2020/2/12§2.2.1空间两平面的相关位置•相交•平行•重合定义直线和它在平面上的投影直线的夹角（所成锐角）称为直线与平面的夹角．,:000pzznyymxxL,0:DCzByAx),,,(pnms),,,(CBAn2),(ns,2),(ns0.2§2.2.2直线与平面的相关位置222222||sinpnmCBACpBnAm直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：L)1(.pCnBmAL)2(//.0CpBnAm.2cos2cossin例1设直线:L21121zyx，平面:32zyx，求直线与平面的夹角.解),2,1,1(n),2,1,2(s222222||sinpnmCBACpBnAm96|22)1()1(21|.637637arcsin为所求夹角．直线与平面的交点000Π0ΠΠxxyyzzLmnpAxByCzDLL设直线：,平面：与不平行，求与的交点.：解题步骤点坐标。的参数方程，即可得交入.代Lt03,的值的方程，求得.代入平面0Π2tt的参数方程：.写出L1ptzznt,yymt,xx000分析:关键是求得直线上另外一个点M1.M1在过M且平行于平面P的一个平面P1上,待求直线又与已知直线相交,交点既在P1上,又在L上,因此是L与P1的交点.例2求过点M(-1,2,-3),且平行于平面,532131:zyxL,01326:zyxP又与直线相交的直线方程.解过M作平行于平面P的一个平P1PMLP1M1求平面P1与已知直线L的交点tzyxzyx53213101326),(，31101,,,Mt解得),6,3,2(1MMs633221zyxP1:0)3(3)2(2)1(6zyx01326zyx即P1:定理3.7.1判定空间两直线的相关位置的充要条件为：ⅰ异面ⅱ相交ⅲ平行ⅳ重合11122212111222:,:xxyyzzxxyyzzllXYZXYZ2121211112220xxyyzzXYZXYZ1112220,::::XYZXYZ111222212121::::::XYZXYZxxyyzz111222212121::::::XYZXYZxxyyzz一、空间两直线的相关位置§2.2.3空间两直线的相关位置例求通过点且与两直线都相交的直线的方程.1,1,1P12123:,:123214xyzxyzll解：设直线方程为：111xyzXYZ1122(,,)020(,,)020MPvvXYZMPvvXYZ::0:1:2XYZ求得111012xyz0:1:21:2:30:1:22:1:4所以直线方程为：定义直线:1L,111111pzznyymxx直线:2L,222222pzznyymxx),(cos)(cos2121vvLL，两直线的方向向量的夹角或其补角称之为该两直线的夹角.两直线的夹角公式222222212121212121pnmpnmppnnmm)(cos21LL，空间两直线的夹角两直线的位置关系：21)1(LL,0212121ppnnmm21//)2(LL,212121ppnnmm直线:1L直线:2L),0,4,1(1s),1,0,0(2s,021ss,21ss例如，.21LL即例1求过点)5,2,3(且与两平面34zx和152zyx的交线平行的直线方程.解设所求直线的方向向量为),,,(pnms根据题意知,1ns,2ns取21nns×=),1,