概率论与数理统计期末试题

11(4分)一袋中有4个白球，4个红球，2个黑球，现作有放回抽取3次，每次从中取一个，求下列事件的概率。(1)第三次才取到白球(2)3个颜色不全相同解:设Ａ为“第三次才取到白球”的事件；Ｂ为“3个颜色不全相同”的事件(1)664()0.144101010PA(2)333()1(0.40.40.2)0.864PB2(6分)设随机变量X的概率密度为0.2,01()0.4,460,xfxx其它又知()0.8PXk，求(１)k的取值范围，(2)X的分布函数()Fx解：(1)显然646414(4)0.40.8,(1)00.40.8PXdxPXdxdx故满足()0.8PXk的k的取值范围是1,4(2)X的分布函数()Fx＝0,00.2,010.2,140.41.4,461,6xxxxxxx3、(9分)设连续型随机变量X的分布函数为,1()ln,1,axFxbxxcxdxedxe求(1)常数,,,abcd；(2)密度函数()fx；(３)()EX解：(1)由()0()1(10)(10),(0)(0)0,1,1,1FaFdcdFFadFeFebecedabcd解得2(2)X的密度函数ln,1()0,xxefx其它(3)22111()()lnln24eexeEXxfxdxxxdxxd-=3、(13分)设离散型随机变量X具有分布律X1012kp0.252aaa8.020.15(1)求常数a；(2)求X的分布函数)(xF；(3)计算)23(XP；(4)求26XY的分布律；(5)计算()DX.解：(1)由分布律的性质2220.2520.80.152.80.412.80.600.2,3(kkpaaaaaaaaa舍去）(2)X的分布函数010.25,10()0.65,010.85,121,2xxFxxxx，(3)33()()0.8522PXF(4)26XY的分布律为Y256kp0.150.450.4(5)222()0.25,()1.05,()()[()]0.9875EXEXDXEXEX34．(10分)设(,)XY的联合密度函数(1)求常数k；(2)求关于X及关于Y的边缘密度函数；(3)X与Y是否独立？说明理由。解：(1)由联合密度函数的性质1200(,)188ykfxydxdykxydxdyk(2)X的边缘密度函数21728(),018,01()(,)30,0,xXxxxxydyxfxfxydy＝其它其它Y的边缘密度函数3204,018,01()(,)0,0,yYyyxydxyfyfxydx＝其它其它(3)由于(,)()()XYfxyfxfy，故X与Y不相互独立5．(6分)设X与Y相互独立，其中X的分布律如下，而Y的概率密度)(yfY为已知，求X23p0．20．8XYU的概率密度)(ug.解：()()(2)(2)(3)(3)0.2()0.8()230.2()0.8()23UYYFuPXYuPXPXYuXPXPXYuXuuPYPYuuFF()()110.2().0.8().22330.80.1()()233UYYYYguFuuuffuuff2,01(,)0,kxyxyfxy其它46、已知一批产品中有95%是合格品，检验产品质量时，一个合格品被判为次品的概率为0.04，一个次品被判为合格品的概率为0.02，从这批产品中任取一个产品，求其被判为合格品的概率。解：1:A取到合格品；2:A取到次品；:B被判为合格品。1122()(|)()(|)()....................................(5')(10.04)95%0.025%........................................................(9')0.913...........................................PBPBAPAPBAPA...............................................(10')7、已知离散型随机变量X的分布律为X-101P2a1414a（1）求常数a；（2）求X的分布函数()Fx解:（1）由分布律的性质可得112()1............................................(4')44aa1......................................................................................(5')6a（2）由（1）知X的分布律为X-101P1314512......................................................................(6')由分布函数的定义可得0,11,103()()...........................................(10')7,01121,1xxFxPXxxx8设连续型随机变量X的分布函数为：10()2,0xxexFxBAex，（1）求常数,AB；（2）求X的概率密度函数()fx.5解：（1）由分布函数性质：(0)(0)12...............................................................(2')()11................................................................................(4')FFBAFB因此可得1/2,1.........................................................................(5')AB（2）代入,AB的值，可得102()................................................................(6')11,02xxexFxex，故10()2().........................................................(10')1,02xxexdFxfxdxex，9二维连续型随机变量(,)XY的概率密度函数为,01,||(,)0,axyxfxy其它，（1）求常数a；（2）求概率2()PXY.解：（1）由题意10(,)11..........................................(3')xxRRfxydxdyadxdy可以得到10211........................................................(5')axdxa（2）把1a代入密度函数22211200()(,).................................................(7')()....................................................(9')1........................................6xyxxPXYfxydxdydxdyxxdx................................................(10')610总体X的概率密度函数为22,0()0,xxexfx其它，其中0是未知参数，12,,,nXXX是来自X的一个简单样本，求的最大似然估计量.解：221()...........................................................(2')ixniixLe似然函数为2111ln[()]lnln.............................(4')2nniiiiLxnx对数似然函数2212^1ln[()]100....................................................(8')2................................................................(10')2niiniidLnxdxn令的最大似然估计量11已知连续型随机变量X的概率密度函数为,0()0,xexfx其它，若随机变量1,10,121,2XYXX,求EY.解：由数学期望的定义121021(1)0(12)1(2)(1)(2)..................................................................(3')1...............................................(5')xxEYPXPXPXPXPXedxedxee12设随机变量X的概率密度函数为othersxxxf020)(求：（1）常数λ；（2）EX；(3)P{1X3}；（4）X的分布函数F(x)解：(1)由201)(xdxdxxf得到λ＝1/2(2)3421)(220dxxdxxxfEX7(3)31214321)(}31{xdxdxxfxP(4)当x0时，xdtxF00)(当0x2时，xxxtdtdxdttfxF00241210)()(当x2时，F（x）=1故2001()02412xFxxxx13设X与Y相互独立，且X服从3的指数分布，Y服从4的指数分布，试求：（1）),(YX联合概率密度与联合分布函数；（2）)1,1(YXP；（3）),(YX在343,0,0),(yxyxyxD取值的概率。解:（1）依题知其他,00,3)(3xexfxX其他,00,4)(4yeyfyY所以),(YX联合概率密度为其他,00,0,12),(43yxeyxfyx当0,0yx时，有)1)(1(12),(430043yxxysteedsedtyxF所以),(YX联合分布函数其他,0;0,0),1)(1(),(43yxeeyxFyx（2）)1)(1()1,1()1,1(43eeFYXP；（3）3104330434112),(edyedxDYXPxyx14设总体X的概率密度为其他,010,)1()(xxxf其中未知参数1，nXXX,,21是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求的估计量。解：设似然函数),,2,1;10()1()(1nixxLinii对此式取对数，即：8niixnL1ln)1ln()(ln且niixndLd1l