概率论与数理统计统计课后习题答案 总主编 邹庭荣 主编 程述汉 舒兴明 第三章

1第三章习题解答1.设随机变量(X,Y)的联合分布为若X，Y相互独立，则（A）.A.91,92baB.92,91baC.31,31baD.31,32ba解：根据离散型随机变量独立性的定义，p{x=1y=2}=p{x=1}p{y=2}即：1/9=（1/6+1/9+1/18）（1/9+a）得：a=2/9p{x=1y=3}=p{x=1}p{y=3}得：b=1/92.同时掷两颗质体均匀的骰子,以X,Y分别表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则(A).A.1{,},,1,2,636PXiYjijB.361}{YXPC.21}{YXPD.21}{YXP解：根据离散型随机变量独立性的定义，111{,}{}{},,1,2,66636PXiYjpXipYjij因为所有的样本点为（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）一直到（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）共36个X=Y共6个，故B选项1{}6PXY，则C选项5{}6PXYXY的样本点数为21个，21{}36PXY3.若),(~),,(~222211NYNX,且X,Y相互独立，则(C).A.))(,(~22121NYXB.),(~222121NYXC.)4,2(~2222121NYXD.)2,2(~2222121NYX参看课本69页推论2：随机变量)21()(~2niNXiii，，，且nXXX,,21相互独立，常数naaa,,21不全为零，则有12311/61/91/1821/3abXY222111~nnniiiiiiiiiaXNaa，4.已知~(3,1),~(2,1),,XNYNXY且相互独立，记,72YXZ则Z~(A).A.)5,0(NB.)12,0(NC.)54,0(ND.)2,1(N5.已知(X,Y)的密度函数为sin(),0,(,)40,Cxyxyfxy其它则C的值为(D).A.21B.22C.12D.12解：根据二维随机变量密度函数的性质：()dd1fxyxy，即：4400sin()dd1cxyxy解得：c=126．为使(23)e,,0(,)0,xyAxyfxy其他为二维随机向量(X,Y)的联合密度,则A必为(B).A.0B.6C.10D.16解：同上题类似7.设(,)XY的密度函数为23,02,01(,)20,xyxyfxy其他,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内取值的概率为(C).A.0.4B.0.5C.0.6D.0.8解：以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内，密度函数解析式不唯一。以(0,0),(0,1),(2,1)为顶点的三角形内，23(,)2fxyxy以(0,1),(2,1),(0,2)为顶点的三角形内,(,)0fxy所以，2120232xpdxxydy=0.68.设（X，Y）的联合密度函数为3其它,01,1,21),(2xyxxyxyxf判断X与Y是否相互独立.解：根据课本62页定理1，先求(),()xYfxfy，然后看()()(,)xYfxfyfxy是否成立。经判断，不独立9．一个袋中有4个球，分别标有数字1、2、2、3，从袋中随机取出2个球，令X、Y分别表示第一个球和第二个球上的号码，求：（X，Y）的联合分布列.解：根据实际意义得：p{x=1y=1}=0p{x=3y=3}=0其它概率直接求即可。YX123101/61/1221/61/61/631/121/6010．设随机变量X和Y的分布如下：X101Y01P412141p2121又已知{0}1PXY，试求),(YX的联合分布，并判断X和Y是否独立.解：由{0}1PXY得：p{x=-1y=1}=0，p{x=1y=1}=0根据联合分布和边缘分布的关系，p{y=1}=1/2，得p{x=0y=1}=1/2p{x=0}=1/2，得p{x=0y=0}=0,p{x=1}=1/4，得p{x=1y=0}=1/4p{x=-1}=1/4，得p{x=-1y=0}=1/4联合分布为：YX01-11/40001/211/40因为p{x=0y=1}=1/2，而p{x=0}p{y=1}=1/4，所以X，Y不独立11．设),(YX的分布列如下，写出X与Y的边缘分布.（X,Y）(0，0)（-1，1）（-1，3）（2，0）P1/61/31/125/12解：根据联合分布和边缘分布的关系得：X-102Y013ip5/121/65/12jp7/121/31/1212．设二维随机变量（X，Y）的密度函数为(1)e,0,0(,)0,xyCxxyfxy其它求常数C及边缘分布密度函数.4解：考查二维随机变量密度函数的性质及密度函数与边缘密度函数的关系由()dd1fxyxy，得：(1)00dd1xyCxexy所以C=1边缘密度公式：()()dYfyfxyx，()()dyXfxfxy，带入得：0,00,)(xxexfxX,0,00,)1(1)(2yyyyfY13.设二维随机变量（X，Y）的密度函数为,020,10,31),(2其它yxxyxyxf（1）求X和Y的边缘密度，并判断X和Y是否独立；（2）求1YXP解：（1）与上题类似，判断是否独立，看()()(,)xYfxfyfxy是否成立。（2）求区域上的概率。即高等数学上求二重积分。1YXP=122011(+xy)dydx3xx=65/7214.独立投掷一枚均匀的骰子两次，记B、C为两次中各出现的点数，求一元二次方程02CBxx有实根的概率和有重根的概率.解：方程有实根即22404BCBC，参看选择第二题，样本点数为19，故P=19/36.方程有重根即22404BCBC，样本点为2个，P=2/36.15.证明二维正态随机变量),(YX相互独立的充要条件是0.证明：参见教材61页例3.16.设G是由直线0y，8yx及0x所围成的三角形区域，二维随机变量),(YX在G上服从均匀分布，求：(1)),(YX的联合概率密度；（2）,XY的边缘分布密度函数;(3)条件密度|(|)YXfyx和|(|)XYfxy.解：（1）由均匀分布的定义（64页例6），D为平面上面积为A的有界区域.其它，，，，0)(1)(DyxAyxf5求区域的面积A=32，所以其他080,80321,xyxyxf（2）边缘密度公式：()()dYfyfxyx，()()dyXfxfxy，，将密度函数带入得其他080328xxxfX,其他080328yyyfY（3）条件密度公式：|,YXXfxyfyxfx|,XYYfxyfxyfy17．设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1和2的泊松分布，求YXZ的概率分布.解：11()!kPXkek，22()!kPYkek，1,2,k{}{}{,}ijkPZkPXYkPXiYj1212{}{}!!ijijkijkPXiPYjeeij1212121200!!()!!()!!ikikkikiiikeeeeikiikik121212()()120/!!kkiikikiCekek即Z服从参数为1+2的泊松分布.18．设（X，Y）的概率分布为：YX-112-15/202/206/2023/203/201/20求：YXZ1和2ZXY的分布列.解：考查离散型随机变量函数的分布，参看课本67页例1YXZ1-20134P5/202/209/203/201/206XYZ2-1-2124P2/209/205/203/201/2019.（系统管理）设某系统L由两个相互独立的子系统1L与2L连接而成，已知1L与2L的寿命（单位：年）分别为随机变量X与Y，它们的分布密度为e,0()0,0xXxfxxe,0()0,0yYyfyy式中的，1L与2L的连接方式为（1）串联；（2）并联；（3）留2L备用.若系统L的寿命为Z，试求Z的分布密度，若2.0,1.0，试求{10}PZ.解：(1)串联的情况。由于当L1和L2中有一个损坏时，系统L就停止工作，所以这时L的寿命为Z=min(X,Y)不难求得X与分布函数分别为1e,0()0,0xXxFxx1e,0()0,0yYyFyy于是Z=min(X,Y)的分布函数(){}{min(,)}1{min(,)}ZFzPZzPXYzPXYz1{,}1{}{}PXzYzPXzPYz11()1()XYFzFz()1e,00,0zzzZ=min(X,Y)的密度函数()()e,0()0,0zZzfzz(2)并联的情况。由于当且仅当L1和L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)其分布函数(){}{max(,)}{}{}ZFzPZzPXYzPXzPYz()()XYFzFz(1e)(1e),00,0zzzz于是Z=max(X,Y)的密度函数7()ee()e,0()0,0zzZzfzz(3)备用的情况。由于当L1损坏时才启用L2，因此系统L的寿命是L1和L2两者寿命之和，即有Z=X+Y于是，当z0时Z的密度函数为()0()()()zzyyZXYfzfzyfydyeedy()0()zzyzzeedyee当0z时()0Zfz，所以(),0()0,0zzZeezfzz