管理统计学第6章

第6章参数假设检验6.1假设检验的一般问题6.2一个总体下的参数假设检验6.3一个0-1总体分布下的参数假设检验6.4两个总体下的参数假设检验6.5两个总体比例差的假设检验参数假设样本观察假设检验具体的统计方法6.1假设检验的一般问题假设检验是推断性统计学中的一项重要内容，它是先对研究总体的参数作出某种假设，然后通过样本的观察来决定假设是否成立。6.1假设检验的一般问题例如：某种大量生产的袋装食品，按规定每袋重量不得少于250g。今从一批该种食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250g。若规定不符合标准的比例达到5％，食品就不得出厂，问该批食品能否出厂。从2000年的新生儿中随机抽取30个，测得其平均体重为3210g,而根据1999年的统计资料,新生儿的平均体重为3190g,问2000年的新生儿与1999年相比，体重有无显著差异。6.1.1假设检验的基本概念6.1.2假设检验的基本形式假设基本形式H0:原假设，H1:备择假设假设检验：运用统计理论对上述假设进行检验，在原假设与备择假设中选择其一。左单侧备择假设）右单侧备择假设）双侧备择假设）(0:1,0:0(0:1,0:0(0:1,0:0mmmmmmmmmmmm=HHHHHH6.1.3假设检验的基本原理假设检验的基本依据—小概率原理:小概率事件在一次试验中几乎不可能发生。6.1.3假设检验的基本原理假设检验的基本思想前提：承认原假设小概率事件发生大概率事件发生拒绝原假设接受原假设进行一次实验6.1.3假设检验的基本原理显著水平与两类错误第一类错误：弃真（显著水平α）=}{00为真拒绝HHP第二类错误：取伪=}{00不真接受HHP显著水平与两类错误6.1.3假设检验的基本原理对于一定的样本容量n，不能同时做到两类错误的概率都很小。如果减小α错误，就会增大犯β错误的机会；若减小β错误，也会增大犯α错误的机会。使α、β同时变小的办法就是增大样本容量。一般地说，哪一类错误所带来的后果越严重，危害越大，在假设检验中就应当把哪一类错误作为首要的控制目标。但在假设检验中，一般均首先控制犯α错误概率。两类错误关系6.1.4假设检验的步骤一个完整的假设检验过程，通常包括以下五个步骤：提出原假设与备择假设确定适当的检验统计量及相应的抽样分布规定显著性水平α,确定原假设的接受域和拒绝域作出统计决策计算检验统计量的值如何提出原假设H0和备择假设H1？通常将研究者想收集数据予以反对的假设选作原假设，或称零假设，用H0表示。通常将研究者想收集数据予以支持的假设选作备择假设，用H1表示。例如：质量监督委员会意欲对某品牌矿泉水进行检查，以确定是否符合其标签上注明的“容量至少是300ml”的说法，并由此决定是否因为包装重量的不足而对其进行处罚。设质量监督委员会抽取了20瓶该品牌矿泉水为随机样本，得到样本均值为289ml。请确定此问题的原假设H0与备择假设H1。H0:μ≥300（容量符合标签说明）H1:μ＜300（容量不符合标签说明）因：该品牌矿泉水的平均容量小于300ml是我们想要收集数据支持的观点。再如：已知某电子产品的使用寿命服从正态分布，其平均使用寿命为8000小时，现采用新的生产工艺进行生产，在新产品中随机抽取了50个产品进行检测，得到样本均值为8210小时。试问这批产品的使用寿命是否有显著提高？请确定用于检验的原假设和备择假设。H0:μ≤8000（产品寿命不超过8000小时）H1:μ＞8000（产品寿命超过8000小时）因：该批产品的使用寿命超过了8000小时是我们想通过收集数据予以支持的观点。确定原假设和备择假设的一些原则和注意事项：（1）原假设与备择假设互斥。（2）假设检验是概率意义下的反证法，一般情况下把“不能轻易否定的命题”作为原假设，而把希望得到的结果或想收集数据予以支持的假设作为备择假设。（3）在建立假设时，通常是先确定备择假设，再确定原假设。（4）在假设检验中，等号“=”总是放在原假设上。（5）在实际问题中，由于不同研究者有不同的研究目的，选取的原假设和备择假设可能截然相反，但无论怎样确定假设的形式，只要它们符合研究者的最终目的，便是合理的。6.2一个总体下的参数假设检验6.2.1一个总体下均值的假设检验1.正态总体，σ2已知时，μ的假设检验（或者：总体分布未知，但方差σ2已知，大样本）检验统计量n/xZm0=不同假设条件、拒绝域和显著性水平：。时，拒绝当）（。时，拒绝当）（。时，拒绝当）（0010000100020100321HZZ:H:HHZZ:H:HHZZ:H:H/mmmmmmmmmmmm=（双侧检验）（左侧检验）（右侧检验）H0Zα/2-Zα/21/21/2样本统计量拒绝域拒绝域非拒绝域1－置信度抽样分布拒绝域（双侧检验）Z0Z0拒绝域H0:mm0H1:mm0H0:mm0H1:mm0拒绝域1-1－拒绝域-ZαZα（左侧检验）（右侧检验）例：2005年北京市职工平均工资为32808元，标准差为3820元。现在随机抽取200人进行调查，测定2006年样本平均工资为34400元。按照5%的显著性水平判断该市2006年的职工平均工资与2005有无显著差异？解：在本例题中，我们关心的是前后两年职工的平均工资有没有显著的差异，不涉及差异的方向，因此，本题属于双侧检验。检验过程如下：（1）提出假设：H0:μ=32808；H1:μ≠32808；（2）总体标准差s已知，大样本抽样，故选用Z统计量；（3）显著性水平a=0.05，由双侧检验，查表可以得出临界值：。判断规则为：若z1.96或z-1.96，则拒绝H0；若-1.96≤z≤1.96，则不能拒绝H0。（4）计算统计量Z的值（5）检验判断：由于，落在拒绝域，故拒绝原假设H0。结论：以5%的显著性水平可以认为该市2006年的职工平均工资比2005年有明显的差异。96.12/=z89520038203280834400.n/xZ===m9618952.Z.Z==例：已知某电子产品的使用寿命服从正态分布，根据历史数据，其平均使用寿命为8000小时，标准差为370小时。现采用新的机器设备进行生产，随机抽取了100个产品进行检测，得到样本均值为7910小时。试问在5%的显著性水平下，新的机器是否合格？解：这是一个左单侧检验问题。抽样的目的是为了检测新机器生产的产品的使用寿命是否达到标准，我们比较关心的是使用寿命的下限。检验过程如下：（1）提出假设：H0:μ≥8000；H1:μ8000；（2）正态分布，总体标准差已知，故选用Z统计量；（3）显著性水平α=0.05，由单侧检验，查表可以得出临界值（4）计算统计量Z的值：（5）检验判断：由于，落在拒绝域；故拒绝原假设H0。即认为产品的使用寿命有明显降低，新机器不合格。6451050.ZZ.==43.2100/37080007910/0_===nxZmZZ2.正态总体，σ2未知时，μ的假设检验（或者：总体分布未知，方差σ2未知，大样本）检验统计量nsxZ0m=例：某乳制品厂生产的一种盒装鲜奶的标准重量是495克。为了检测产品合格率，随机抽取100盒鲜奶，测得产品的平均重量为494克，标准差为6克，试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。解：产品的标准重量是495克，过轻或者过重都不符合产品质量标准，属于双侧检验。检验过程如下：（1）提出假设：H0:μ=495；H1:μ≠495；（2）总体方差未知，但是由于大样本抽样，故仍选用Z统计量（3）显著性水平a=0.05，由双侧检验，查表可以得出临界值：（4）计算统计量Z的值：（5）检验判断：由于落在接受域；故不能拒绝原假设H0，即不能说明这批产品不符合质量标准。96.12/=z/21.671.96ZZ==_4944951.67/6/100xZsnm===3.正态总体，σ2未知，小样本时，μ的假设检验检验统计量)n(t~n/sxt10=m不同假设条件、拒绝域和显著性水平：。时，拒绝当）（。时，拒绝当）（。时，拒绝当）（0010000100020100131211H)n(tt:H:HH)n(tt:H:HH)n(tt:H:H/=mmmmmmmmmmmm（双侧检验）（左侧检验）（右侧检验）例：沿用上例，对鲜奶产品进行抽样检查，随机抽取10盒产品，测得每盒重量数据如下（单位：克）：496、499、481、499、489、492、491、495、494、502。假设总体服从正态分布，试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。解：根据前面的分析，本例题为双侧检验问题。检验过程如下：（1）提出假设：H0:μ=495；H1:μ≠495；（2）总体方差未知，小样本，故选用t统计量；（3）当a=0.05，自由度n-1=9时，由双侧检验，查表可以得出临界值：（4）根据样本数据计算得到：计算统计量t的值：（5）检验判断：由于，落在接受域；故不能拒绝原假设H0，即不能说明这批产品不符合质量标准。26229102502.)(t)n(t./==_493.84950.63/6.01/10xtsnm===0168493.s,.x==26226302.t.|t|==6.2.2p值：与查表找临界点的一个等价判别法p值是一个概率值，它是用于确定是否拒绝H0的另一种方法。p值是指在原假设H0为真时，样本统计量落在其观测值以外的概率，即表示在实际原假设为真的情况下，拒绝H0犯错误的概率，也称为观测到的显著性水平或相关概率值。若用Z表示检验统计量，z0表示根据样本数据计算得到的检验统计量值，对假设检验的三种基本形式，p值的一般表达式如下：（1）双侧检验：H0：μ=μ0；H１：μ≠μ0p值是当μ=μ0时，检验统计量的绝对值大于或等于根据实际观测样本数据计算得到的统计量观测值的绝对值的概率，即，p值=P(|Z|≥|z0||μ=μ0)。（2）左侧检验：H0：μ≥μ0；H１：μ＜μ0。p值是当μ=μ0时，检验统计量小于或等于根据实际观测样本数据计算得到的统计量观测值的概率，即，p值=P(Z≤z0|μ=μ0)。（2）右侧检验：H0：μ≤μ0；H１：μ＞μ0。p值是当μ=μ0时，检验统计量大于或等于根据实际观测样本数据计算得到的统计量观测值的概率，即，p值=P(Z≥z0|μ=μ0)。(1)双侧检验(2)左单侧检验(3)右单侧检验0临界值计算出的统计量值1/2p值计算出的统计量值临界值1/2p值1/2α1/2α0p值α临界值计算出的统计量值0p值临界值计算出的统计量值α利用p值进行决策的准则为：如果p值≤α（给定的显著性水平），则拒绝H0；如果p值＞α，则接受H0。利用统计量根据显著性水平做出决策，如果拒绝原假设，仅知道犯错误的可能性是α那么大，而p值是犯错误的实际概率。例题：某商品标签上标明其重量至少为3公斤以上，现抽取36瓶该产品组成的一个简单随机样本，得其样本均值2.92公斤，已知总体标准差为0.18时，在显著性水平α＝0.01的情况下检验其商品标签所标内容是否真实？求解过程：（1）原假设H0：μ≥3，备择假设H1：μ＜3（2）检验统计量为：代入数据得：nxZm=672361803922...Z=求解过程（续）：（3）Z=－2.67所对应的p值为0.0038（4）0.0038＜0.01(α值），所以拒绝H0。检验法Z检验条件正态总体，σ2已知(或：总体非正态，但σ2已知，大样本）检验统计量原假设（双侧）（左侧）（右侧）拒绝域n/xZm0=0100mmmm=:H:H22//ZZZZ或0100mmmm:H:HZZ0100mmmm:H:HZZ总结：单总体均值μ的假设检验（1）检验法t检验条件正态总体，σ2未知，小样本检验统计量原假设（双侧）（左侧）（右侧