HHT的中文翻译

第一章希尔伯特黄变换介绍及其相关的数学问题NordenE.Huang希尔伯特黄变换（HHT）是一种基于经验数据分析方法。其扩张的基础是适应性的，所以它可以描述非线性，非平稳过程的数据物理意义。然而，作为一个适应性优势的代价：坚实的理论基础的困难。本章是对基本方法的简要说明，包括有关的归希尔伯特变换的最新发展，Hilbert谱的中心限制问题，固有模态函数（IMF）的统计显着性检验的介绍及HHT方法与相关的数学问题，然后讨论。这些问题包括：（一）对自适应数据分析的一般方法。（二）非线性系统的识别方法。（三）在非平稳过程，这是密切相关的经验模式分解到最终效果的预测问题（EMD方法）。（四）插值的问题，集中在寻找对HHT方法最好的插值实现方法，和EMD和二维EMD的收敛性问题。（五）优化问题或最好的IMF选择和最好的EMD唯一行分解。（六）近似问题涉及希尔伯特变换的可靠性和严格正交数据（七）其他有关的HHT的数学问题。1.1绪论传统的数据分析方法都基于线性和平稳信号的假设。仅在最近几年的新方法被引入到非平稳，非线性数据分析。例如，小波分析和瓦格纳-Ville分布（Flandrin1999的Grochenig2001年）被设计来分析线性的非平稳数据。此外，各种非线性时间序列的分析方法（例如，Tong1990;KantzandSchreiber1997;Diks1999）被设计为平稳和确定性，但非线性系统的分析。不幸的是，最真实的系统，无论是自然的，甚至人为的，数据是最有可能是既非线性，非平稳。分析这样系统中的数据是一项艰巨的问题。即使是公认的在一个先验条件基础上数据展开的数学模式和可以回避先验基础上的卷积运算，有着比解决方案更多的问题。一个必要条件，非线性和非平稳数据代表是有一个自适应的基础。一个先验定义函数不能作为基础，无论多么复杂的基础功能。一些自适应方法可用于信号分析，如WindrowandStearns(1985)的总结的方法。然而，在他们的著作给予方法都是专为平稳过程。非平稳和非线性数据，其中适应是绝对必要的，指没有任何可用的方法都可以找到。试问这样的基础上界定？什么是数学特性和功能的基础问题？应该如何进行数据分析的自适应方法的一般主题接洽？作为自适应意味着基础的定义，是依赖数据本身的，事后基础上定义的这种做法完全与当前用于数据分析的数学模式不同。因此，所需的定义提出了一个数学界的巨大挑战，当然这种挑战，研究来从现实世界数据的新的方法是必要的。最近发展的方法如希尔伯特黄变换（HHT）由黄等人（1996年，1998年，1999年）提出，似乎能满足一些挑战。HHT方法由两部分组成：经验模式分解（EMD）和Hilbert谱分析（HSA）的。这种方法是有潜在的非线性非平稳数据分析可行性的，特别是对时频能量表现。它已被彻底测试和验证，但只有经验性的。在所有研究的情况下，给出的HHT的结果比从时频能量传统分析方法中的任何陈述都直接有效。此外，HHT揭露了许多在数据检测方面的真实物理意义。HHT是强大的，又完全是经验性的。为了使该方法更加稳健和严谨，许多优秀的HHT方法相关的数学问题需要解决。在本节中，有些必须面对的一些问题将被提出，希望能吸引了数学界关注这一有趣的具有挑战性和关键研究领域。有些问题很简单，而可能在未来数年内解决，其他则更困难，可能会需要更多的努力。在历史上的Fourier分析，是1807年发明的，直到1933年才得以充分证明（Plancherel1933年）。同样可以预料，HHT也需要大量的时间和精力。在讨论数学问题，首先考虑简要介绍了HHT的方法，对完整的细节感兴趣的读者可以参考黄等人的著作。1.2希尔伯特黄变换HHT发展的动机是需要详细地描述非平稳过程中的随着信号自发变化的非线性扭曲波。众所周知，自然物理过程大多是非线性，非平稳，但数据分析方法提供了在检测数据等过程中非常有限的选择。可用的方法无论是对上述线性非平稳的还是非线性平稳的及统计确定性随机进程都适用。检测现实世界的非线性，非平稳随机过程的数据，急需新的办法来对非线性过程作特殊的处理。过去对非线性系统的线性结构的做法是不够的。其他例如周期性，数据详细的动态过程要被确定，因为作为非线性过程的典型特征之一的内部波的频率调制表明了一个振荡周期瞬时频率的变化。作为一个例子，对一个非常简单的非线性系统进行检验，非耗散Duffing方程为这里的ε是不必须很小的参数，γ是一个周期性频率ω的函数的振幅。在(1.1)，如果参数ε为零，该系统将是线性的，而且很容易找到解决办法。然而，如果ε不为零，该系统将是非线性的。在过去，任何这样的参数系统都可以用干扰的方法，只要ε《1。然而，相对于整体上不那么小的ε，那么系统变得高度非线性，以及诸如分岔和混沌将导致新的现象。然后干扰的方法不再是一种选择;必须尝试其他大量的解决方法。无论哪种方式，公式（1.1）代表了最简单的非线性系统之一，它也包含所有的非线性可能。通过重写在一个稍微不同形式的方程它的特征就可以更好拿来应用。然后括号内的数量可以被视为一个变量的弹性系数或变量钟长。单摆的频率（或周期）随着单摆的长度而定，很明显，（1.2）系统中的频率在一个振荡周期内也随着位置到位置，时间到时间的改变而改变。如同黄等人（1998）指出，这同频的频率变化是非线性系统的标志。在过去，当分析的线性傅里叶分析的基础上，内波频率的变化无法描述，只有通过谐波分析。因此，任何非线性失真波形被称为“谐波失真。”谐波失真是在对非线性系统线性结构的数学加工造成的。他们可能有数学上的意义，但没有物理意义（黄等人。1999年）。例如，在水浪的情况下，谐波成分等不具备一个真正潮水的真正的物理特性之一。用物理意义的方法来描述系统中的瞬时频率，能够揭示了内调制波频率范围。最简单的方法来计算瞬时频率是使用希尔伯特变换，通过它的复共轭y(t)的任何实值函数x（t）的频域可被确定（例如，Titchmarsh1950年）提出在这里PV代表奇异积分的主值。随着希尔伯特变换，解析信号的定义为这里a（t）是瞬时振幅，θ为相位函数，瞬时频率为希尔伯特变换的描述中的许多数学上的重点方法是由Hahn(1996)提出的。从本质上讲，公式（1.3）定义为希尔伯特变换的X（t）的卷积，因此，（1.3）强调x(t)的局部特性。在（1.4）中，极坐标表达进一步阐明了这种局部特性表示的性质：它是一个最好的局部适合幅度和相位变化的三角函数x（t）。即使通过希尔伯特变换，定义的瞬时频率仍然饱含争议。事实上，通过此方法获得一个任意函数，不能获得一个瞬时频率。一个直接的应用（由哈恩在1996年主张）只会导致频率值对于任何给定数据集有可能会得到正值或负值的问题。因此，在过去的希尔伯特变换的所有应用仅限于窄带的信号，在限定的频率范围内有着相同数量的的极点和零点。然而，在频率空间滤波是一种线性的运作，而筛选的数据将被去掉他们的谐波，其结果将会是波形的失真。希尔伯特变换的真正的优势越来越明显是在黄等人（1998）提出了经验模态分解法后。1.2.1经验模态分解法（筛选的过程）正如黄等人讨论（1996，1998，1999），在处理非平稳非线性过程的数据，经验模态分解法是必要的。相较于以前的几乎所有方法，该方法与后定义的基础上直观，直接，适应性，分解方法是直接基于数据得出的。分解是根据简单的假设，即任何数据由不同的简单的振荡固有模式。每一个固有模式，线性或非线性，代表了一种有着相同数目极点和零点的简单的振荡。此外，振荡也将与对称有关“局部的意思”对称有关。在任何特定时间，数据可能有许多不同的振荡模式并存，一个在另一个上叠加，最后的结果是复杂的数据。这些振荡模式，每个代表一个固有模态函数（IMF）有如下定义：（1）在整个数据集，极值点的数目与零点数必须相等或最多相差一个（2）在任何时候，由局部最大值和局部最小值确定的包络的平均值是零。图1.1测试数据固有模态函数相对于简谐函数表示的是简单振荡模式，但它更普遍：不需要恒定的幅度和频率而这对一个简单的谐波分量是需要的，IMF可以把一个可变幅度和频率作为时间函数。随着对IMF的上述定义，任何一个可以分解的功能如下：如图1.1提供的数据，确认所有的局部极值，然后就可以用三次样条线将所有的局部最大值在包络上显示。重复该过程来产生局部极小较低的包络。上下包络应包括它们之间的所有数据，如图1.2所示。他们的平均被指定为m1，也是在图1.2所示。数据与m1之间的差异即第一个分量H1在图1.3所示。也就是说，这是由黄等人在1998年提出的。图1.2数据（蓝色线）上下包络（绿色线）分别定义局部极大值和极小值，以及包络平均红色线；图1.3数据（红色线）h1(蓝色线)理想的情况下，h1应满足IMF的定义，应该表示为极大正值和极小负值的对称相等。然而，即使这筛选过程再完美，柔和的斜坡上的一个波峰可以被放大成为局部端点，从而改变直角坐标系或曲线坐标系的局部零值。经过第一轮的筛选，波峰可能成为局部最大值。新的极值实际上以这种方式生成说明正确的方法也没有初步的检测。事实上，通过反复筛，筛选过程也可以恢复信号，通过低振幅导行波表现。在筛选过程中有两个目的：消除导波，使波的轮廓更对称。虽然、实现希尔伯特变换的首要目的是让得到一个有意义的瞬间频率，第二个目的，还必须在邻近的情况下取得的波动幅度有过大的差距。为了实现这些目标，筛选过程必须尽可能重复多次使提取的信号达到IMF的标准。在随后的筛选过程中，h1是可作为初始的IMF。在接下来的一步，它是作为数据处理，然后图1.4（顶部）H1与M2的反复筛选步骤。（底部）H2与M3的反复筛选步骤。如图1.4所示经过这种反复筛的方式，经过了k次筛选后的h1k成为了一个固定模态函数（IMF），即这时，图1.5经过15步筛选后的第一IMF分量c1数据中的第一IMF分量如图1.5所示。这时，必须确定一个关键的准则：停止的标准。从历史上看，两种不同的标准已使用：第一种是在黄等人使用（1998年）的。这个决定停止的标准是使用柯西收敛测试。具体来说，测试需要计算连续两个筛选结果的标准差SDk的值来定义：如果这个平方差SDK比预定值小，筛选过程将停止。这个定义是如此地严格的，所以是非常难以执行的实践。这里还必须解决两个关键问题：第一，这个预定值是多么小的问题，就需要一个答案。第二，这个标准并不取决于固定模态函数的定义。比如，平方差可能很小，但是不能保证这个函数有相同的零极点数。这些缺陷促使黄等人（1999，2003）提出的第二个标准以零点和极值点的关系为基础。具体来说，一个筛选的次数是预先选定。在S次连续筛选过程内，当零点数和极值数相等或最多相差一个，筛选过程将停止。这第二个选择也有自己的困难：如何设定筛选次数。显然，任何选择是临时性的，但是一套严格的准则是必要的。在最近对这个开放的筛选结束条件的研究中，黄等人（2003）使用了许多种可能性确定筛选次数从而形成整个IMF模型的方法，从全局平均到中心推导。此外，通过局部值和平均的比较，黄等人建立了一种经验性的指导，即对于一般性的筛选，筛选的次数范围可以设定在4到8之间。更多的细节会在后文介绍。现在假设一个停止的标准，然后这个第一IMF分量c1被确定。总体上讲，c1应该包含最好的频率范围或最短时间内信号的频率分量。然后c1可以分离其余的信号成分，图1.6原始数据（蓝线）剩余残量(红线)然而如图1.6所示，剩余的r1仍然含有在长周期变换的数据。它被视为新的数据，受到如上所述相同的筛选过程。此过程可反复以后，所有的rj这样产生筛选过程可以被任何预先确定的标准所停止：要么当IMF分量cn或残余分量rn比预定值小时，或者rn成为单调函数不能从中提取任何固定模态函数。即使是具有零均值数据，最终残留量仍然可以不是零均值的。如果数据有一个趋势，最终残留量就表现了这一趋势。通过总结（1.12）和（1.13），我们终于得到因此，实现一个为N次经验模式的数据分解，并得到的残留rn可以是平均趋势或一个常数。这里讨论的，适用EMD方法的均值或零值引用并非必需的