曲线上一点处的切线

执教者：金志春常熟市梅李中学曲线上一点处的切线曲线上一点处的切线1.什么叫做平均变化率几何意义：平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势一般地，函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率曲线y=f(x)上两点连线的斜率。如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？.P如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？.P放大.P放大.P.P.P.P.P1）观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？曲线有点像直线•2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了•这种思维方式就叫做“逼近思想”。直线放大P放大PP放大P放大PP从上面的图形来看：1）.曲线在点P附近看上去几乎成了直线l4）.用直线l的斜率来刻画曲线经过p点时的变化趋势3）.点P附近可以用这条直线l代替曲线2）.继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l，这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线PQoxyy=f(x)割线切线l探究怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l1）在点P附近能做出比PQ更加逼近曲线的直线l吗？2）在点P附近还能做出更加逼近曲线的直线l吗？如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线.yOxPQ●切线定义随着点Q沿曲线C向点P运动，直线PQ在点P附近逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线.利用直尺，用割线逼近切线的方法作出下列曲线在P点处的切线PP●P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？试求f(x)=x2在点(2,4)处的切线斜率．y·OP24Q），（），，（分析：设)x(f,xQ42PQQ2x2x4x2x4)x(fkPQQQ2QQQPQ的斜率为则割线;PPQPQ斜率从而割线斜率逼近切线处的切线，逼近点割线时，沿曲线逼近点当;4k2xPQPQQ无限趋近于常数时，无限趋近于即点横坐标时，点横坐标无限趋近于当.442x)x(f2切线斜率为）处的，在点（从而曲线x.442xf(x)4k0x2PQ）处的切线斜率为，在点（从而曲线，无限趋近于常数时，无限趋近于当的斜率则割线设解PQ),)x2(,x2(Q),4,2(P：2试求f(x)=x2在点(2,4)处的切线斜率．x4xxx4x4)x2(k22PQ），（），，（解：设2QQx,xQ42P2x2x4xkPQQQ2QPQ的斜率为则割线.442xf(x)4k2x2PQQ斜率为）处的切线，在点（从而曲线，无限趋近于常数时，无限趋近于当练习：试求f(x)=x2+1在x=1处的切线斜率．.211xf(x)2k0x2PQ处的切线斜率为在点从而曲线，无限趋近于常数时，无限趋近于当x的斜率则割线设由题意解PQ),1)x1(,x1(Q),2,1(P2，：练习：试求f(x)=x2+1在x=1处的切线斜率．当△x无限趋近于0时，割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率x2xxx2x2]1)x1[(k22PQ找到定点P的坐标设出动点Q的坐标求出割线斜率yxOy=f(x)xx0x0+xPQf(x0+x)f(x0)切线割线P（x0,f(x0))Q(x0+△x,f(x0+△x))△x0时,点Q位于点P的右侧y=f(x)△x0时,点Q位于点P的左侧2.求出割线PQ的斜率,并化简.x)(x)xx(k00PQff求曲线y=f(x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤:3.令Δx趋向于0,若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率1.设曲线上另一点Q(x0+Δx,f(x0+Δx))M（即y)变式1.已知函数f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率和切线方程变式2.已知函数f(x)=x-1,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率和切线方程练习：已知f(x)=,求曲线y=f(x)在x=0.5处的切线斜率是什么？练习.已知函数f(x)=(1-x2)0.5,求曲线y=f(x)在x=0.5处的切线斜率和切线方程小结1、曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映。(局部以直代曲)●2、根据定义,利用割线逼近切线的方法,可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。割线PQP点处的切线Q无限逼近P时割线PQ的斜率P点处的切线斜率Q无限逼近P时Q无限逼近P时即区间长度趋向于0令横坐标无限接近函数在区间[xP,xQ](或[xQ,xP]）上的平均变化率P点处的瞬时变化率(导数)1．曲线的方程为y=x2+1，那么求此曲线在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程.2．求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1，4)处的切线方程.3．求曲线f(x)=31x3－x2+5在x=1处的切线的倾斜角.4．y=x3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标.5．求下列曲线在指定点处的切线斜率.(1)y=－3x+2,x＝２处奎屯王新敞新疆（２）y＝11x，x＝０处．6..求曲线y=x2+1在点P(－2，5)处的切线方程.课后作业