赵树嫄-《微积分(第四版)》第五章-不定积分

1第五章不定积分2例，xxcos)(sinxsin是xcos的原函数.，？23)(x第一节不定积分的概念(一)原函数与不定积分的概念如果在某区间I内)()(xfxF,则称I内F(x)为f(x)的一个原函数.定义不定积分又称反导数，它是求导运算的逆运算。，233)(xx，233)1(xx，233)(xCx本章所讲的内容就是寻求函数的原函数。3原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I内连续，简言之：连续函数一定有原函数。问题：(1)原函数是否存在？那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.(2)是否唯一？因此初等函数在其定义域内都有原函数。(但原函数不一定是初等函数)4唯一性？)()(])()([xFxGxFxG0)()(xfxf（1）若)(xF是)(xf的一个原函数,则对任何常数C,CxF)(也是)(xf的一个原函数；（2）设)(xF是)(xf的一个原函数,则)(xf的任一个原函数)(xG与)(xF最多相差一个常数,即CxFxG)()(.综合(1)(2),如果)(xf有一个原函数)(xF,则CxF)(是)(xf的所有原函数的一般表达式.说明：.)()(CxFxG所以5积分变量(二)不定积分的概念积分常数积分号被积函数CxFxxf)(d)(若)(xF是)(xf的一个原函数,则称CxF)(为)(xf的不定积分,记为.)(d)(CxFxxf定义6例1求.d5xx解,)61(56xx.61d65Cxxx解例2求.d112xx,11)(arctan2xx.arctand112Cxxx7，若1例3求解.dxx.1d1Cxxx则xxd1Cx211211xxd12Cx1xxd21Cx2Cxxx2d1Cxxx1d12xxxd2xxd25Cx125125.7227Cx8，求xxd,0x若xx1)(ln)(1xx.)ln(dCxxx,1x解，若1])[ln(x;lnd1Cxxx例3求.dxx,0x若合写成.||lnd1Cxxx9(三)不定积分的几何意义xyo设F(x)是f(x)的一个原函数，则方程y=F(x)的图形是直角坐标系Oxy中的一条曲线，称为f(x)的一条积分曲线.将这条曲线沿y轴向上或向下移动长度为|C|的距离，就可以得到f(x)的无穷多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为f(x)的积分曲线族，其方程为xxfyd)(CxFy)(或10它们的特点是：在横坐标相同的点处，各积分曲线的切线有相同的斜率，都是f(x)，即各切线平行。xyo有时需要求f(x)通过定点),(00yx的积分曲线，即满足条件00)(yxy的原函数，这个条件一般称为初始条件，由这个条件可以唯一确定常数C。11xyoxxxfd2)(,2Cx,1C得.12xy所求曲线方程为，代入将2,1yx解例4设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.设曲线方程为),(xfy根据题意知,2)(xxf即)(xf是x2的一个原函数.(1,2)12第二节不定积分的性质)(]d)([ddxfxxfx.d)(]d)([dxxfxxf或性质1求不定积分与求导或微分互为逆运算：CxFxxF)(d)(.)()(dCxFxF或性质2,d)(d)(xxfaxxfa其中a为非零常数。证]d)([xxfa]d)([xxfa,)(xfa由定义可知，.d)(d)(xxfaxxfa13xxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([]d)(d)([xxgxxf,)()(xgxf此性质可推广到有限多个函数之和差的情形。]d)([]d)([xxgxxf性质3证综合性质2和性质3，可得xxfaxfaxfannd)]()()([2211xxfaxxfaxxfannd)(d)(d)(2211其中naa,,1全不为零。14第三节基本积分公式xkd)1((k是常数)xxd)2(xxd)3(xxde特别，Cxexaxd)4(Caaxlnxxdcos)5(Cxsinxxdsin)6(Cxcosxxd1Cx2xxd12Cx1Cxk)1(11CxCx||ln15xx2cosd)7(xxdsec2Cxtanxx2sind)8(xxdcsc2Cxcotxxd11)12(2Cxarctanxxd11)11(2Cxarcsinxxxdtansec)9(Cxsecxxxdcotcsc)10(Cxcsc)arccos(Cx或)cotarc(Cx或16直接积分法—分项积分法xaxd例xxd2Cx2ln2xxxxd)124(234xxxxxd)ecos2sin(xcos332x2332xxxsin2Cxe例例xxdCx11xxdcosCxsinxxdsinCxcosCaaxlnxxdeCxeCC17例xxxxxd)1(122xxd112xxxxxd)1()1(22xxxd)111(2Cxx||lnarctanCxarctanxxdCx||ln18例xxd112Cxarctan2dxxCx1xxxd)1(122xxxd)111(22xxxxxd)1(12222Cxxarctan119例xxxd124xxxxd11)1)(1(222xxxd)111(22Cxxxarctan33xxxd1112420例xxdsec2Cxtan例xxxd)1213(22Cxxarcsin2arctan3xxxxd)tan(secsecxxxxd)tansec(sec2Cxxsectanxx2cos1dxx2sin2dxxdcsc212Cxcot21xxd112Cxarctanxxd112CxarcsinxxxdtansecCxsec例xxdcsc2Cxcotxx2sin22cos121三角恒等变形例xxxdcossin122xxxxxdcossincossin2222xxxd)cscsec(22Cxxcottanxxxd)sin1cos1(22xxdsec2Cxtanxxdcsc2Cxcotxxdtan2Cxxtanxxd)1(sec2例22例例xxxxdsincos2cosxxxxxdsincossincos22xxxd)sincos(Cxxcossinxxd2cos2xxd2cos1Cxx)sin(21xxsin1dxxxxd)sin1)(sin1(sin1xxxxd)tansec(sec2Cxxsectanxxxdcossin12例23训练：求下列不定积分xxd)1()1(22xxxd)12(24Cxxx353251xxxd11)2(22xxd)121(2Cxxarctan2xxd2cos)3(2xxd2cos1Cxx)sin(21xxxd2cos1cos1)4(xxxdsin2cos12xxxxd)cotcsc(csc212Cxx)cot(csc2124问题xxd)12(6xxd)12(612xu第四节换元积分法uud216)12(d)12(216xxCu7141.)12(1417Cx(一)第一类换元积分法(凑微分法)25)(xuxxxgd)()]([uugd)(xxfd)(CuG)(.)]([CxG一般地，凑微分法步骤如下：)(d)]([xxg26常用凑微分公式：等等.)(d1dbkxkx)0(kxxdxxd1xxdsinxxdcosxxd112xxd112xxdsec2xxd1xxd12)d(212x)d(2xxxd1Cx2)1d(x)||lnd(x)cosd(x)sind(x)arctand(x)arcsind(x)tand(x27例xxd121.|12|ln21Cx)12(d12121xx例xxd2)3(100)23(d)23(31100xx23xu例xxxd12)1(d12122xxCx232)1(3221uuxud12112Cu||ln21uud31100Cu1013031.)23(3031101Cx.)1(31232Cx28xxxdcos.254xxxd1.34.sin515Cx421d21xx.arcsin212Cx55dcos51xx练习xxxde.12)(de2122xxuuuxde212Cue21.e212Cx29例)ln21(dxxx)(lndln211xx.|ln21|ln21Cx)ln21(dln21121xx例xxxdsinxxdsin2.cos2Cx,)d(2d1xxx)lnd(d1xxx例)1(dxxx1)(d2xx.arctan2Cx2)(x30例22dxax2221d1axxa)(d)(1112axaxa.arctan1CaxaCaxaxaxarctan1d22例22dxax)0(a)(d)(112axaxaa.arcsinCaxCaxxaxarcsind2224dxx.2arctan21Cx29dxx.3arcsinCx31例Caxaxaaxxln21d2222daxxxaxaxad)11(21Caxaxa)||ln||(ln21.ln21Caxaxa另外：Caxaxaxaxln21d224d2xx.22ln41Cxx32例Cxxx|sec|lndtanxxdtanxxxdcossinxxcoscosdCx|cos|ln.|sec|lnCxCxxx|csc|lndcot类似地，Cxxx|sin|lndcot或33例xxdsecxxdcos1xxxdcoscos2xx2sin1sindln21d22Caxaxaxax34xx2sin1sindCxxsin1sin1ln21Cxx22cos)sin1(ln21.|tansec|lnCxx类似地，|cotcsc|lndcscCxxxx|tansec|lndsecCxxxx例xxdsecxxdcos1xxxdcoscos235基本积分公式22d)14(xax22d)13(xax22d)15(xaxxxdtan)16(xxdcot)17(dcsc)19(xxxxdsec)18(Caxaxaln21Caxaarctan1CaxarcsinCx|sec|lnCx|csc|ln|tansec|lnCxx|cotcsc|lnCxx36例xxxde1e解法1xxxxde1ee1