高三数学二轮复习精品课件(课标版)专题3 第10讲 数列求和及数列应用

第10讲数列求和及数列应用第10讲数列求和及数列应用主干知识整合第10讲│主干知识整合1．常用公式等差数列的前n项和，等比数列的前n项和，1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12，12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋12n＋16，13＋23＋…＋n3＝nn＋122.2．常用裂项方法(1)1nn＋1＝1n－1n＋1；(2)1nn＋k＝1k1n－1n＋k；第10讲│主干知识整合(3)1n2－1＝121n－1－1n＋1；(4)14n2－1＝1212n－1－12n＋1；(5)n＋1nn－1·2n＝2n－n－1nn－1·2n＝1n－12n－1－1n·2n等．3．数学求和的基本方法公式法、分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．4．数列的应用等差数列模型、等比数列模型、递推数列模型．要点热点探究第10讲│要点热点探究►探究点一数列求和及其应用例1[2011·安徽卷]在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，再令an＝lgTn，n≥1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝tanan·tanan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.【分析】本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，运算求解能力和创新思维能力．第10讲│要点热点探究【解答】(1)设t1，t2，…，tn＋2构成等比数列，其中t1＝1，tn＋2＝100，则Tn＝t1·t2·…·tn＋1·tn＋2，①Tn＝tn＋2·tn＋1·…·t2·t1，②①×②并利用titn＋3－i＝t1tn＋2＝102(1≤i≤n＋2)，得T2n＝(t1tn＋2)·(t2tn＋1)·…·(tn＋1t2)·(tn＋2t1)＝102(n＋2)．∴an＝lgTn＝n＋2，n≥1.(2)由题意和(1)中计算结果，知bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1，另一方面，利用tan1＝tan[(k＋1)－k]＝tank＋1－tank1＋tank＋1·tank，得tan(k＋1)·tank＝tank＋1－tanktan1－1.所以Sn＝k＝1nbk＝k＝3n＋2tan(k＋1)·tank＝k＝3n＋2tank＋1－tanktan1－1＝tann＋3－tan3tan1－n.第10讲│要点热点探究【点评】本题考查等比数列的性质、三角函数等知识．本题两问中的方法都是值得注意的，在第一问中采用的是倒序相乘法，这类似数列求和中的倒序相加法；第二问采用的裂项相消法和两角差的正切公式结合在一起，这在近年来的高考试题中是不多见的，这与我们平时见到的裂项相消法有较大的不同，但基本思想是把不能使用公式直接求和的问题转化为可以逐项相消的问题，基本思想就是裂项．第10讲│要点热点探究在数列{an}中，a1＝1，并且对于任意n∈N*，都有an＋1＝an2an＋1.(1)证明数列1an为等差数列，并求{an}的通项公式；(2)设数列{anan＋1}的前n项和为Tn，求使得Tn10002011的最小正整数．第10讲│要点热点探究【解答】(1)证明：1a1＝1，因为an＋1＝an2an＋1，所以1an＋1－1an＝2，所以数列1an是首项为1，公差为2的等差数列，所以1an＝2n－1，从而an＝12n－1.(2)因为anan＋1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，所以Tn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝n2n＋1.由Tn＝n2n＋110002011，得n100011，所以使得Tn10002011的最小正整数n为91.第10讲│要点热点探究例2某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2010年1月的产值都为a万元，甲企业每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等，乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的百分数相等，到2011年1月两个企业的产值又相等．(1)到2010年7月，试比较甲、乙两个企业的产值的大小，并说明理由；(2)甲企业为了提高产能，决定用3.2万元买一台仪器．从2011年2月1日投放使用，从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为n＋4910元(n∈N*)，求前n天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最小时使用了多少天？►探究点二数列应用题的解法第10讲│要点热点探究【分析】(1)甲企业的各个月份的产值组成等差数列，乙企业各个月份的产值组成等比数列，在这两个各有十三项的数列中其第一项和最后一项相等，比较的是中间项的大小，根据等差中项和等比中项的概念和基本不等式进行比较大小；(2)前n天的维修费用之和加上购买仪器的费用除以n即为日均耗费，使用基本不等式求其最值以及取得最值时的n即可．第10讲│要点热点探究【解答】(1)甲企业的产值比乙企业的产值要大．设从2010年1月到2011年1月甲企业每个月的产值分别是a1，a2，…，a13，乙企业每个月的产值分别记为b1，b2，…，b13.由题意{an}成等差数列，{bn}成等比数列．∴a7＝12(a1＋a13)，b7＝b1b13.又a1＝b1，a13＝b13，∴a7＝a1＋a132a1a13＝b1b13＝b7，即2010年7月甲企业的产值大．(2)设一共用了n天，则n天的平均耗资为P(n)，则P(n)＝3.2×104＋5＋n＋4910n2n＝3.2×104n＋n20＋9.92，当且仅当3.2×104n＝n20时P(n)取得最小值，此时n＝800，故日平均耗资最小时使用了800天．第10讲│要点热点探究【点评】本题考查等比数列模型、等差数列模型的实际应用，并与基本不等式进行交汇．数列在实际问题中有着极为广泛的应用，数列的应用问题在高考中虽然不是主流，但并不排除在高考中考查数列实际应用问题的可能，看下面的变式．第10讲│要点热点探究[2011·湖南卷]某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An＝a1＋a2＋…＋ann.若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．第10讲│要点热点探究【解答】(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为34的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×34n－6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝130－10n，n≤6，70×34n－6，n≥7.(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70×34×4×1－34n－6＝780－210×34n－6，An＝780－210×34n－6n，因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列．又A8＝780－210×3428＝82476480，A9＝780－210×3439＝76799680，所以须在第9年初对M更新．第10讲│要点热点探究►创新链接6数列中的不等式问题高考对不等式的综合考查主要是三个方面，一个在函数导数的综合题中使用不等式讨论函数性质，一个是在解析几何中使用不等式确定直线与曲线的位置关系、解决范围最值等问题，再一个也是难度最大的一个就是在数列中考查不等式．在数列中考查的不等式的主要类型为结合数列的通项与求和，然后证明不等式，探究不等关系，求最值等．解决数列中的不等式问题的方法是灵活的，但基本的思想是比较和放缩，解题的关键是对已知关系的变换，通过变换实现已知向求解目标的转化．第10讲│要点热点探究例3[2011·全国卷]设数列{an}满足a1＝0且11－an＋1－11－an＝1.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1－an＋1n，记Sn＝∑nk＝1bk，证明：Sn＜1.【分析】(1)问是常见的考查整体代换思想问题；(2)问涉及的类型为常见的求和方法问题，关键是化简的方法．第10讲│要点热点探究【解答】(1)由题设11－an＋1－11－an＝1，即11－an是公差为1的等差数列．又11－a1＝1，故11－an＝n.所以an＝1－1n.(2)证明：由(1)得bn＝1－an＋1n＝n＋1－nn＋1·n＝1n－1n＋1，∴Sn＝∑nk＝1bk＝∑nk＝11k－1k＋1＝1－1n＋11.【点评】本题为常见的数列与不等式的综合问题，就是在试题的第二问结合数列求和、数列通项等证明一个不等式，基本思路之一是放缩．第10讲│要点热点探究已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝3anan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使Tnm20对所有n∈N*都成立的最小正整数m.【分析】(1)采用比较系数的方法求出二次函数的解析式，即可得到数列{an}的前n项和公式，再根据an，Sn的关系，即可求出数列{an}的通项公式；(2)根据(1)可知数列{bn}的通项公式，进而求和．第10讲│要点热点探究【解答】(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx，则f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)＝6x－2，所以a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.又点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－5，当n＝1时，a1＝S1＝1，也适合an＝6n－5，所以an＝6n－5(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝3anan＋1＝36n－56n＋1＝1216n－5－16n＋1.故Tn＝i＝1nbi＝121－17＋17－113＋…＋16n－5－16n＋1＝121－16n＋1.随着n的增大，Tn逐渐增大直至趋近12，故Tnm20对所有n∈N*都成立，只要12≤m20即可，即只要m≥10.故使得Tnm20对所有n∈N*都成立的最小正整数m＝10.第10讲│要点热点探究第10讲│规律技巧提炼1．裂项相消法的基本思想是把数列的通项an分拆成an＝bn＋1－bn或者an＝bn－bn＋1或者an＝bn＋2－bn等，从而达到在求和时逐项相消的目的，在解题中要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之符合裂项相消的条件．2．错位相减法适用于数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，乘以等比数列的公比再错位相减，即依据是：cn＝anbn，其中{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，则qcn＝qanbn＝anbn＋1，此时cn＋1－qcn＝(an＋1－an)bn＋1＝dbn＋1，这样就把对应相减的项变为了一个等比数列，从而达到求和的目的．3．在数列应用题中首先确定是什么类型的数列，然后再根据已知和求解目标，使用等差数列、等比数列的知识进行解答．规律技巧提炼第10讲│教师备用例题教师备用例题备选理由：例1的目的是复习倒序相加求和法以及不等式证明中的放缩法；例2虽然是2010年的高考试题，但这个题目