【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《命题及其关系、充分条件与必要条件》

【2014年高考会这样考】1．考查四种命题之间的关系，明确四种命题的构成形式，能运用所学知识判断命题或其等价命题的真假，多以填空题或选择题的形式考查．2．判断指定的条件与结论之间的关系或探求其结论成立时的条件等，一般以选择、填空题的形式考查，有时融入到解答题中综合考查．第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练四种命题及其关系充分条件、必要条件与充要条件考向一考向二考向三充要条件的判断方法单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】充要条件的探求充分条件与必要条件的判断四种命题及其关系选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、1．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假判断①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的．②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性．真假性没有关系考点梳理逆命题若q，则p否命题若￢p，则￢q逆否命题若￢q，则￢p2．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的条件，q是p的条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的条件，q也是p的条件．考点梳理充分必要充要充要助学微博互为逆否命题的两个命题的真假性相同，对于一些难于判断的命题可转化为其等价命题来判断．充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)集合法：记A＝{x|x∈p}，B＝{x|x∈q}．若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．一个等价关系两种方法1．(2012·湖南)命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()．A．若α≠π4，则tanα≠1B．若α＝π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠π4D．若tanα≠1，则α＝π42．(2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．(人教A版教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中是真命题的个数为()．A．0B．1C．2D．3单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解考点自测cADA②③123454．(2011·山东)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()．A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝35．下列命题中所有真命题的序号是_____．①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．【例1】►(2012·济南模拟)下列有关命题的说法正确的是()．A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0”B．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题C．命题“∃x∈R，使得2x2－10”的否定是“∀x∈R，均有2x2－10”D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题解析命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，所以A错；命题“∃x∈R，使得2x2－10”的否定是“∀x∈R，均有2x2－1≥0”，所以C错；命题“若cosx＝cosy，则x＝y”为假命题，故其逆否命题也假，故D错；“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”显然正确．所以应选B.答案B[审题视点]根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．【方法锦囊】(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．考向一四种命题及其关系【训练1】以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a0，则函数f(x)＝logax(a0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析对于①，若log2a0＝log21，则a1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，因此①是假命题，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案②④考向一四种命题及其关系[审题视点]根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．【方法锦囊】(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题,必要时举特例．考向二充分条件与必要条件的判断[审题视点]根据充分条件、必要条件的定义判断．【方法锦囊】充分条件和必要条件反映了条件和结论之间的关系，结合具体问题可按照以下三个步骤进行判断：【例2】►(2012·北京)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，结论推条件；③确定条件和结论是什么关系解析a＝0时，a＋bi不一定是纯虚数，但a＋bi为纯虚数时，a＝0一定成立，故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．答案B[审题视点]根据充分条件、必要条件的定义判断．【方法锦囊】充分条件和必要条件反映了条件和结论之间的关系，结合具体问题可按照以下三个步骤进行判断：【训练2】(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，结论推条件；③确定条件和结论是什么关系解析由题意知，x≥2且y≥2x2＋y2≥4，充分性满足；反之，不成立，如x＝y＝74，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2.答案A考向二充分条件与必要条件的判断直接利用求根公式进行计算，然后用整数等有关概念进行分析、验证．[审题视点]解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．考向三充要条件的探求【方法锦囊】【例3】►(2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.解析x＝4±16－4n2＝2±4－n，因为x是整数，即2±4－n为整数，所以4－n为整数，且n≤4，又因为n∈N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意，所以n＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．答案3或4【训练3】(2011·湖北)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的()．A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件直接利用求根公式进行计算，然后用整数等有关概念进行分析、验证．[审题视点]解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．【方法锦囊】考向三充要条件的探求解析若φ(a，b)＝0，即a2＋b2＝a＋b，两边平方整理，得ab＝0，故具备充分性．故具备充分性．则不妨设a＝0..φ(a，b)＝a2＋b2－a－b＝b2－b＝0..故具备必要性．故选C.方法优化1充要条件的判断方法【命题研究】通过对近三年高考试题的统计分析可以看出，有关充分条件和必要条件的考题，是通过对命题条件和结论的分析，一方面运用集合观点进行求解，另一方面可从逻辑关系上去寻找联系．考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解，考查角度主要是充分条件、必要条件和充要条件的判断，它往往是在不同知识点的交会处进行命题，考查面十分广泛，涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角等内容．判断“p是q的什么条件”的实质是对命题“若p，则q”与“若q，则p”的真假的确定．今后凡是遇到“p是q的什么条件”的题目，一要养成化简条件、结论为最简形式的好习惯，二要养成“解决彻底”的好习惯，既要解决充分性，又要解决必要性．揭秘3年高考【真题探究】►(2012·山东)设a0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[教你审题]先根据函数的性质确定这两个命题的充要条件，然后根据定义法将其转化为两个简单命题进行判断．[一般解法]第1步确定“函数f(x)＝ax在R上是减函数”的充要条件：a∈(0,1)；第2步由g′(x)＝3(2－a)x2≥0知g(x)在R上是增函数的充要条件：a∈(0,1)∪(1,2)；第3步∪(1,2)．所以选A.[优美解法](举反例法)第1步在(0,1)内任取一个实数，不妨取a＝12，前者⇒后者；第2步取a＝32，后者⇒/前者(前提：想到y＝x3的图象和性质)．解析【试一试】(2011·浙江)若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜1b成立，如果a＜0，则b＜0，b＞1a成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，“a＜1b或b＞1a”成立，但不能推出0＜ab＜1，因此“0＜ab＜1”不是“a＜1b或b＞1a”的必要条件；故“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分而不必要条件．A1．(2012·福建)下列命题中，真命题是(D)．A．∃x0∈R，ex0≤0B．∀x∈R,2xx2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．a1，b1是ab1的充分条件解析因为∀x∈R，ex0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出ab＝－1，故排除C.应选D.答案D2．(2013·徐州模拟)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(B)．A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析否命题既否定题设又否定结论，故选B.答案B3．(2012·重庆)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(D)．A．既不充分也不必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．充要条件解析∵x∈[0,1]时，f(x)是增函数，又∵y＝f(x)是偶函数，∴x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．∴x∈[3,4]时，f