人教版必修一：函数的映射

函数的映射一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做集合A到集合B的一个函数．复习:函数的概念函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应复习:函数的概念这种“特殊对应”有何特点：1.可以是“一对一”2.可以是“多对一”3.不能“一对多”4.A中不能有剩余元素5.B中可以有剩余元素下面对应是否为函数？Ａ={高一（5）班同学}，Ｂ={正实数}，f：让每位同学与学号数对应．对应如下表所示：每位同学与学号数对应AB２…１…30张三李四……王五Ａ＝｛中国，日本，韩国｝，Ｂ＝｛北京，东京，首尔｝，f:相应国家的首都．AB中国日本韩国北京东京首尔任意一个三角形，都有唯一确定的面积与此相对应AB…………它的面积三角形映射的概念一般地，设A、B是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。思考：映射与函数有什么区别与联系？类比函数概念概括[例2]设f：M→N是集合M到集合N的映射，下列说法中正确的是()A．M中每一个元素在N中必有元素与之对应B．N中每一个元素在M中必有元素与之对应C．M中的元素在N中可以有不同元素与之对应D．N中的元素在M中若有原象，则原象必是惟一的[分析]根据映射的定义判断．[解析]在映射中允许集合N中的某些元素在集合M中没有元素对应，所以B是错误的；又因为映射中允许集合M中不同元素对应集合N中相同的元素，就是说可以“多对一”，因此D也是错误的．M中元素的象是惟一的，故C错，∴选A.下列从集合A到集合B的对应中为映射的是()A．A＝B＝N*，对应法则f：x→y＝|x－3|B．A＝R，B＝{0,1}，对应法则f：x→y＝1，(x≥0)0，(x＜0)C．A＝B＝R，对应法则f：x→y＝±xD．A＝Z，B＝Q，对应法则f：x→y＝1x[答案]B[分析]判断两个集合之间的对应是否为映射，只要按照对应法则f判断，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中是否有惟一的元素和它对应．[解析]在A中，当x＝3时，|x－3|＝0，于是A中有一个元素在B中没有元素和它对应，故不是映射；在C中，集合A中的负数在B中没有元素和它对应，故也不是映射；(或者x＞0时，B中对应元素不唯一)；在D中，集合A中元素为0时，其倒数不存在，因而0在B中无对应元素，故同样不是映射；B符合定义，故选B.（1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射．思考：映射与函数有什么区别与联系？函数建立在两个非空数集上的特殊对应映射建立在两个任意集合上的特殊对应扩展（2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数．（3）映射与函数都是特殊的对应1.可以是“一对一”2.可以是“多对一”3.不能“一对多”4.A中不能有剩余元素5.B中可以有剩余元素例1说出下图所示的对应中，哪些是Ａ到Ｂ的映射？941开平方AB3－32－21－130°45°60°90°求正弦AB21222311－12－23－3求平方AB149123乘以2AB123456例2说出下图所示的对应中，哪些是Ａ到Ｂ的映射？（２）AB1a2bcAB（4）a1bc22AB（１）a1bc2AB1a2b(3)3变式练习：说出下图所示的对应中，哪些是Ｂ到Ａ的映射？（２）AB1a2bcAB（4）a1bc2AB1a2b(3)32AB（１）a1bc2思考:有人说映射有“三性”，即“方向性”，“存在性”和“唯一性”，对此你是怎样理解的？③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.①“方向性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；例3：已知集合Ａ＝Ｒ，Ｂ＝｛(x,y)|x,y∈Ｒ｝，f是从Ａ到Ｂ的映射f:x→(x+1,x2).（１）求在B中的对应元素（２）(2,1)在Ａ中的对应元素2解:（１）将x=代入对应关系，可得其在Ｂ中的对应元素为（，2）212x+1=2x2=1（２）∴x=1即(2,1)在Ａ中的对应元素为１由题意得：一、下列图中所表示的对应是不是从A到B的映射？为什么？A4321aaaaB4321bbbb4321aaaaAB4321bbbb(1)(2)M4321aaaaN4321bbbb(3)MN(4)1b的原象象abcdefghi一个从A到B的映射，如果且b与a对应，我们就把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。BbAa,1.点(x，y)在映射f下的象是(2x－y，2x＋y)，（1）求点（２，３）在映射f下的像；（2）求点(4，6)在映射f下的原象.知识应用1.点(x，y)在映射f下的象是(2x－y，2x＋y)，（1）求点（２，３）在映射f下的像；（2）求点(4，6)在映射f下的原象.知识应用(1)点(2,3)在映射f下的像是(1,7);(2)点（4，6）在映射f下的原象是（5/2，1）小结：1、映射的概念2、映射与函数的区别与联系作业：看课本相关内容，做练习册相关题目2.函数与映射有什么区别和联系？结论：1.函数是一种特殊的映射;２.两个集合中的元素类型有区别;３.对应的要求有区别.•１.集合Ａ＝｛全班同学｝，集合Ｂ＝（全班同学的姓｝，对应关系是：集合Ａ中的每一个同学在集合Ｂ中都有一个属于自己的姓.•２.集合Ａ＝｛中国，美国，英国，日本｝，Ｂ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦｝，对应关系是：对于集合Ａ中的每一个国家，在集合Ｂ中都有一个首都与它对应.•３.设集合Ａ＝｛１,－３,２,３,－１,－２｝，集合Ｂ＝｛９，０，４，１，５｝,对应关系是：集合Ａ中的每一个数，在集合Ｂ中都有一个其对应的平方数.例1试判断下面给出的对应是否为从集合A到集合B的映射？（1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x,y)|x∈R,y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A={x|x是师大附中的班级}，集合B={x|x是师大附中的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生;（5）集合A={1,2,3,4},B={3，4，5，6，7，8，9}，对应关系f：x→2x+1（1）是一对一（2）是一对一（3）是多对一（4）不是（5）是A不能有剩余，B可以剩余(1)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集；值域是各段函数值集合的并集；最大(小)值是各段上最大(小)值中的最大(小)者．研究分段函数常借助图象进行．(2)映射f：A→B包含三个要素：原象集合A，象集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B的对应法则f.两个集合A、B可以是数集，也可以是点集或其它集合．对应法则f可用文字表述，也可以用符号表示．映射是一种特殊的对应，它具有：①方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；②任意性：集合A中的任意一个元素都有象，但不要求B中的每一个元素都有原象；③唯一性：集合A中元素的象是唯一的，即不允许“一对多”但可以“多对一”．[例3]已知集合A＝B＝{(x，y)|x、y∈R}，给定映射f：A→B，使得集合A中的元素(x，y)与集合B中的元素(x＋y，xy)对应．(1)求A中元素(－2,3)的象；(2)求B中元素(2，－3)的原象；*(3)判断集合A中是否存在元素与B中形如(a，a2)的元素对应；若存在，求之；若不存在，说明理由．[分析]由对应法则，可以根据A中元素与B中元素的对应关系建立起关于x、y的方程组．其中第(3)问即是判断相应的方程组是否有解，何时有解．[解析](1)依题意，(－2,3)→(－2＋3，－2×3)，所以A中元素(－2,3)的象是(1，－6)；(2)设B中元素(2，－3)的原象为(x、y)，由已知的对应法则有x＋y＝2，xy＝－3；所以x、y是方程z2－2z－3＝0的两个根，解得x＝3，y＝－1；或x＝－1，y＝3；即B中元素(2，－3)的原象为(3，－1)和(－1,3)两个；(3)假设A中的元素(x，y)与B中元素(a，a2)对应，则有x＋y＝a，xy＝a2；∴x、y应是方程z2－az＋a2＝0的两个实数根，所以Δ＝a2－4a2≥0，即－3a2≥0，注意到a为实数可知：当且仅当a＝0时，B中形如(a，a2)的元素在A中存在相对应的元素为(0,0)；而当a≠0时，这样的元素不存在．总结评述：在一个给定的映射f：A→B中，A中每一个元素在B中都有唯一元素与之对应，但B中元素在A中未必有元素对应，即A中元素对应B中元素的集合实际上是集合B的一个子集．在涉及元素的对应问题中，常常需要建立方程组求解．(1)已知(x，y)在映射f下的象是(x＋y，x－y)，则象(1,2)在f下的原象为()A.52，32B.－32，12C.－32，－12D.32，－12(2)设集合A、B都是正整数集，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素3n＋2n，则在映射f下，象89的原象是()A．2B．3C．4D．5[答案](1)D(2)C[解析](1)由条件知x＋y＝1x－y＝2，∴x＝32y＝－12.(2)由条件知，3n＋2n＝89，n∈N＋，当n＝3时，33＋2×3＝33.当n＝4时，34＋2×4＝89.[点评](2)验证次数要尽可能的少，故先验证B，若n＝3时，结果比89小，则排除A、B.若等于89，则知选B，若大于89，则选A.[例6]设集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，其中a，k∈N，映射f：A→B使B中的元素y与A中元素x对应且y＝3x＋1，求a及k的值．[错解]∵B中元素y＝3x＋1与A中元素x对应，∴A中元素1,2分别对应B中元素4,7.∵a，k∈N，∴a不存在，∴k不存在．[辨析]以上解法的错误之处在于误解了映射的定义．由于集合元素的无序性，所以a4＝10或a2＋3a＝10都有可能，因而要分类讨论．[正解]∵B中元素y＝3x＋1与A中元素x对应，∴A中元素1,2,3对应B中的元素分别为4,7,10.∴a4＝10，3k＋1＝a2＋3a或a2＋3a＝10，3k＋1＝a4∵a，k∈N，∴a＝2k＝5，这就是所求a、k的值．6．若f(x)＝x1＋x2，则f(1x)等于()A．f(x)B.1f(x)C．－f(x)D．f(－x)[答案]A(1)设f(x)＝x－1x＋1，则f(x)＋f1x＝()A.1－x1＋xB.1xC．1D．0(2)设f(1x＋1)＝1x2－1，则f(x)＝________.(3)若对任意x∈R，都有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，则f(x)＝________.[答案](1)D(2)x2－2x(x≠1)(3)3x－2[解析](1)f(x)＋f(1x)＝x－1x＋1＋1x－11x＋1＝x－1x＋1＋1－xx＋1＝0.(2)解法1：f(1x＋1)＝(1x＋1)2－2(1x＋1)，∴f(x)＝x2－2x.∵1x≠0，∴1x＋1≠1，∴f(x)＝x2－2x(x≠1)．解法2：令1x＋1＝t，则1x＝t－1≠0，∴t≠1，∴f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，∴f(x)＝x2－2x(x≠1)．(3)由条件知，f(－x)－2f(x)＝－9x＋2，与原条件式看作关于f(x)与f(－x)的方程组，解出f(x)＝3x－2.函数y＝x2＋2x的图象上各点向________平移________个单位可以得到y＝x2－1的图象．[答案]右1[例3]函数y＝1x－2的图象可由y＝1x的图象经过怎样的变换得到？[解析]在同一坐标系中分别画出y＝1x－2与y＝1x的图象可