0换元积分法

一问题的提出二第一类换元法（凑微分法）三第二类换元法四小结五思考与判断题第二节换元积分法(SubstitutionRules)2020/2/121但是xdx2cos,sinCx2解决方法利用复合函数，设置中间变量.令xt2,21dtdxxdx2cosdttcos21Ctsin21.2sin21Cx一问题的提出Cxxdxsincos我们知道xCx22cos)(sin2020/2/122?122dxxx令txsindxxx221tdtttcossin1)(sin22tdtt22cossin利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的；我们可以把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法。目的是去掉根式。2020/2/123若),()(ufuF则.)()(CuFduuf设)(xu（且可微，根据复合函数微分法，）dxxxfxdF)()]([)]([CxFdxxxf)]([)()]([)(])([xuduuf于是可得下述定理二第一类换元法2020/2/124注意使用此公式的关键在于将CxFxdxfdxxxf))(()())(()()]([设)(uf具有原函数，dxxxf)()]([)(])([xuduuf第一类换元公式（凑微分法）)(xu可导，则有换元公式定理1即将)())(()()]([xdxdxxxf拼凑成第一类换元法又称为凑微分法。2020/2/125dxxex22例1求解的导数，于是有恰好是剩下的因子为被积函数中的一个因子2222xuxxueeux,,)(2222xdedxxexxcedueuucex22020/2/126例2求.dxx231解,)(xxx2323121231dxx231dxxx)(2323121duu121Culn21.)ln(Cx2321xu232020/2/127例3求.)ln51(1dxxx解dxxx)ln51(1)(lnln511xdx)ln51(ln51151xdxxuln21duu151Culn51熟练以后就不需要进行)(xu转化了Cx)ln51ln(512020/2/128例4求.)(dxxx21解dxxx21)()(])()([xdxx11111221111CxCx)()ln(dxxx2111)(Cxx)()ln(1112020/2/129例5求.122dxxa解dxxa221dxaxa222111axdaxa2111.arctan1Caxa2020/2/1210例6求dxx2cosdxx22cos1Cxx42sin2dxx2cos解))2(221(21xxdcoxdx例7解dxx3sinCxxxdxxdxxdxx)cos(coscos)cos(sinsinsin3223311正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂齐次幂拆开放在微分号d后面。2020/2/1211dxex11dxeedxeexxxx1)1(1xxxxdeexdee11)(1)1(11xxede.)1ln(Cex解例8求.11dxex2020/2/1212例9求xdxx35sectanxdxx35sectan解xdxxxxtansecsectan24xxdxsecsec)(sec2221xdxxxsec)secsec(sec2462Cxxx357315271secsecsec2020/2/1213例10求解.cos11dxxdxxcos11dxxx2cos1cos1dxxx2sincos1)(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx2020/2/1214例11求解.cossin52xdxxxdxx52cossin)(sin)sin1(sin222xdxx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.)(sincossinxxdx422020/2/1215例12求解.2cos3cosxdxx),5cos(cos212cos3cosxxxxdxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx利用三角学中的积化和差公式，得2020/2/1216解dxxsin1xdxcsc)(coscos112xdxduu211duuu111121Cuu11ln21.cos1cos1ln21Cxx类似地可推出例13求.cscxdxdxxx2sinsin.)tanln(secsecCxxxdx.)cotln(cscCxx2020/2/1217三第二类换元法duufdxxxf)()()]([化为积分第一类换元法是通过变量替换将积分)(xu下面介绍的第二类换元法是通过变量替换将积分)(txdtttfdxxf)()]([)(化为积分2020/2/1218其中)(x是)(tx的反函数.证设为的原函数,)(t)()]([ttf令)]([)(xxF则dxdtdtdxF)()()]([ttf,)(1t设)(tx是单调的、可导的函数，)()()]([)(xtdtttfdxxf则有换元公式并且0)(t，又设)()]([ttf具有原函数，定理22020/2/1219第二类积分换元法CxFdxxf)()(,)]([Cx)]([tf).(xf说明)(xF为)(xf的原函数,根式代换三角代换分为两种基本类型)()()]([)(xtdtttfdxxf2020/2/1220例13求解).0(22adxxatdtadxcostdtatadxxacoscos2222,sinttaxtataaxacossin22222dttatdta22cos1cos222Cttatacossin2222Cxaxaxaaxt222212arcsinarcsint22xaxa1三角代换2020/2/1221例14求解).0(122adxax令taxsec2,0ttdttadxtansecdxax221dttattatantansectdtsecCtt)tanln(sectax22ax.ln22Caaxax2020/2/1222例15求解).0(122adxax令taxtantdtadx2secdxax221tdtata2secsec1tdtsecCtt)tanln(sectax22ax.ln22Caaxax2,2t注三角代换的目的是化掉根式.2020/2/1223例16求解.dxex11xet令,dttdx1dttt)(122dttt1112Ctt)]ln([ln12,lntx22根式代换考虑到被积函数中的根号是困难所在，故dxex11回代将xet.lnCeexx12原式2020/2/1224当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）lkxx,,ntxn例17求.)1(13dxxx解令6tx,65dttdxdxxx)1(13dtttt)1(6235dttt22162020/2/12253其他形式代换注1积分中为了化掉根式除采用上述代换外还可用双曲代换.122tshtchachtxashtx,也可以化掉根式中,令dxax221ashtxdxax221dtachtachtCtdtCaxarsh.ln22Caaxaxachtdtdx2020/2/1226注2倒数代换也是常用的代换之一.1tx例18求dxxxn)(11令tx1,12dttdxdxxxn)(11dttttn2111dtttnn11Ctnn||ln11.||lnCxnn111解2020/2/1227例19求解.dxxxa422令tx1,12dttdxdtttta2422111dttta122dxxxa422分母的次幂太高2020/2/1228dxxxax4220,时当)(112122222tadtaaCata2232231)(.)(Cxaxa3223223dxxxax4220,时当.)(Cxaxa32232232020/2/1229基本积分表续;coslntan)16(Cxxdx;sinlncot)17(Cxxdx;)tanln(secsec)18(Cxxxdx;)cotln(csccsc)19(Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa2020/2/1230;ln211)22(22Cxaxaadxxa;arcsin1)23(22Caxdxxa.)ln(1)24(2222Caxxdxax;ln211)21(22Caxaxadxax2020/2/1231四小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、根式代换、倒数代换三角代换常有下列规律22)1(xa可令;sintax22)2(xa可令;tantax22)3(ax可令.sectax2020/2/1232五思考与判断题Cxxdx2cos2sin12CxCxdxxarccosarcsin2112020/2/1233