2013届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第18讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

221sincos1tan.23sinxxxxcosx．理解同角三角函数的基本关系式：，．能利用单位圆中的三角函数线推导正弦、余弦、正切的诱导公式．．能灵活应用同角公式、诱导公式进行简单三角函数的化简、求值与证明．221sincos__________.2tan__________.()12．同角三角函数关系式：．三平方关系：①商数关系：②巧记口诀：奇变角函数的诱导公式偶不变，符号看象限注意：记忆公式中始终假视为锐角公式一：2kp+-p-p+2p-正弦sin④_____sin-sin-sin余弦③____cos-cos-cos⑥____正切tan-tan⑤_____tan-tan公式二：-+p-p+正弦⑦_____cos⑨_____-cos余弦sin⑧_____-sin⑩_____1cossintancoscossincossinsincos①；②；③；④；⑤；⑥【要；⑦；⑧；⑨；⑩点指南】1.α是一个三角形的内角，且sinα＝45，则tanα的值等于()A．－43B．－34C.34D．±43【解析】cosα＝±1－sin2α＝±35，所以tanα＝sinαcosα＝±43.故选D.2.已知1＋sinαcosα＝－12，则cosαsinα－1的值为()A.12B．－12C．2D．－2【解析】cosαsinα－1＝－cosα1－sinα＝－cosα1＋sinα1－sin2α＝－cosα1＋sinαcos2α＝－1＋sinαcosα＝12.故选A.3.已知－π2x0，sinx＋cosx＝15，则sinx－cosx的值为－75.【解析】由sinx＋cosx＝15，平方得sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＝125，所以1＋2sinxcosx＝125，所以2sinxcosx＝－2425，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝1＋2425＝4925，又－π2x0，所以sinx－cosx0，所以sinx－cosx＝－75.4.已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝－33.【解析】因为5π6－θ＋π6＋θ＝π，所以cos(5π6－θ)＝cos[π－(π6＋θ)]＝－cos(π6＋θ)＝－33.5.cos(π＋α)＝－12，则sin(3π2＋α)＝－12.【解析】由cos(π＋α)＝－cosα，得cosα＝12，所以sin(3π2＋α)＝－cosα＝－12.一诱导公式的应用【例1】(1)求sin(－16π3)的值；(2)化简：sin2π＋αcos－αcosπ＋αtanπ－αcos3－π－αsin3π2－αtan－2π－α.【解析】(1)sin(－16π3)＝－sin16π3＝－sin(4π＋4π3)＝－sin4π3＝－sin(π＋π3)＝sinπ3＝32.(2)原式＝sin2αcosα－cosαsinπ－αcosπ－α·－cosα3－cosαsin－2π－αcos－2π－α＝－1.【点评】(1)求任意角三角函数值的过程可以归纳为“负化正，大化小，化成锐角再查表”，求值时，一定要认真审题，选择恰当公式，找出最佳途径，完成求值．(2)三角函数的化简是各类考试重点的内容之一，要注意灵活，准确地使用诱导公式．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．素材1【解析】cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．因为cos(75°＋α)＝13，且α为第三象限角，所以角75°＋α为第四象限角．所以sin(75°＋α)＝－1－cos275°＋α＝－1－132＝－223，则cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－13＋223＝22－13.【点评】解答本题的关键是分析所求式和已知式中的角度，寻找到75°＋α与105°－α之间的关系，即(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，从而为应用诱导公式化简找到入手之处．二利用同角公式进行弦切转化【例2】(1)已知tanα＝2，求sinα－3cosαsinα＋cosα的值；(2)化简：tanθ(cosθ－sinθ)＋sinθ·(tanθ＋1tanθ)．【解析】(1)tanα＝2，显然cosα≠0，sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝2－32＋1＝－13.(2)原式＝sinθcosθ·(cosθ－sinθ)＋sinθ(sinθcosθ＋cosθsinθ)＝sinθ－sin2θcosθ＋sin2θcosθ＋cosθ＝sinθ＋cosθ.【点评】(1)在解决关于正弦、余弦的齐次问题时，可逆用商数关系式tanα＝sinαcosα将弦化为切(以减少函数名称)，从而达到简化运算目的．(2)三角中的化简、求值及三角恒等式的证明问题常常采用“切化弦法”，即利用商数关系tanα＝sinαcosα，把切函数化为弦函数，以达到统一函数名称之目的．素材2已知tanαtanα－1＝－1，求sin2α＋sinαcosα＋2的值．【解析】由tanαtanα－1＝－1，得tanα＝12，所以sin2α＋sinαcosα＋2＝3sin2α＋sinαcosα＋2cos2αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋tanα＋2tan2α＋1＝3×122＋12＋2122＋1＝135.三公式sin2α＋cos2α＝1的巧用【例3】已知sinθ－cosθ＝12，求：(1)sinθcosθ；(2)sin3θ－cos3θ；(3)sin4θ＋cos4θ.【解析】(1)sinθ－cosθ＝12，平方得1－2sinθcosθ＝14，sinθcosθ＝38.(2)sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cosθ)(sin2θ＋sinθcosθ＋cos2θ)＝12(1＋38)＝1116.(3)sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×964＝2332.【点评】本例是方程思想在三角中的应用问题，求解中注意乘方，因式分解和配方，一般地，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中，任何一个都可以用来求出另两个值．(1)已知cosα－sinα＝1，求(cos2013x＋sin2013x)2；(2)证明：1－sin6x－cos6x1－sin4x－cos4x＝32.素材3【分析】遇到条件cosx－sinx＝1，可运用平方法，求得sinxcosx，代入求解．【解析】(1)由cosx－sinx＝1，可得1－2sinxcosx＝1，则sinxcosx＝0，即sinx＝0或cosx＝0.当sinx＝0时，cosx＝1＋sinx＝1，得(cos2013x＋sin2013x)2＝1；当cosx＝0时，sinx＝cosx－1＝－1，得(cos2013x＋sin2013x)2＝1.综上可知，(cos2013x＋sin2013x)＝1.(2)证明：因为sin2x＋cos2x＝1，所以1＝(sin2x＋cos2x)3,1＝(sin2x＋cos2x)2，1－sin6x－cos6x1－sin4x－cos4x＝sin2x＋cos2x3－sin6x－cos6xsin2x＋cos2x2－sin4x－cos4x＝3sin4xcos2x＋3cos4xsin2x2sin2xcos2x＝3sin2x＋cos2x2＝32.【点评】(1)本题看似复杂，其实由条件可求得sinx及cosx的值为特殊值，从而使问题快速解决．(2)本题在证明过程中，充分利用三角函数的平方关系，sin2α＋cos2α＝1，对“1”进行巧妙的代换，使问题迎刃而解．备选例题已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求3sin2x2－2sinx2cosx2＋cos2x2sinxcosx＋cosxsinx的值．【解析】方法1：(1)由sinx＋cosx＝15，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，得2sinxcosx＝－2425，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925，又因为－π2x0，所以sinx0，cosx0，sinx－cosx0，故sinx－cosx＝－75.(2)原式＝2sin2x2－sinx＋1sinxcosx＋cosxsinx＝sinxcosx(2－cosx－sinx)＝(－1225)×(2－15)＝－108125.方法2：(1)联立方程组sinx＋cosx＝15①sin2x＋cos2x＝1②由①得sinx＝15－cosx，将其代入②，整理得25cos2x－5cosx－12＝0，所以cosx＝－35或cosx＝45.因为－π2x0，所以sinx＝－35cosx＝45，故sinx－cosx＝－75.(2)原式＝2sin2x2－sinx＋1sinxcosx＋cosxsinx＝sinxcosx(2－cosx－sinx)＝(－35)×45×(2－45＋35)＝－108125.2221tansintanos(sincos)12sincos11sincos.23sinxxxxxcosxxxxxxx．在求值与化简时，常用的方法有：①弦切互化，主要公式为，；②和积互化，利用的关系进行变形、转化；③巧用“”的变换：．在求值、化简时，要细心观察三角函数式的特征，灵活、恰当地选用公式．思路一：切化弦，思路二：化为同名函数．．运用诱导公式的关键在于函数名称与符号的正确判断和使用．