2013届高考数学考点回归总复习《第七讲 函数的奇偶性与周期性》课件

第七讲函数的奇偶性与周期性回归课本1.函数的奇偶性(1)函数的奇偶性的定义奇偶性定义图象特点偶函数如果函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数.关于y轴对称奇函数如果函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数.关于原点对称(2)对函数奇偶性的理解①函数奇偶性的判断a.首先看函数的定义域,若函数的定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数,也不是偶函数.b.若函数的定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.②在公共定义域内a.两奇函数的积与商(分母不为零时)为偶函数,两奇函数的和是奇函数.b.两偶函数的和､积与商(分母不为零)为偶函数.③奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单调性相反.2.函数的周期性(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫f(x)的最小正周期.(2)周期函数不一定有最小正周期,若T≠0是f(x)的周期,则kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期,周期函数的定义域无上､下界.考点陪练21.fxaxbxa1,2a,ab11..3311..22ABCD已知是定义在上的偶函数那么的值是（）答案:B2.(2010·新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)0}=()A.{x|x-2或x4}B.{x|x0或x4}C.{x|x0或x6}D.{x|x-2或x2}解析:已知函数f(x)是偶函数,所以当x0时,解析式为f(x)=2-x-4(x0),所以当x-20时,f(x-2)=2-(x-2)-4,要使f(x-2)0,解得x0;当x-2≥0时,f(x-2)=2x-2-4,要使f(x-2)=2x-2-40,解得x4,综上{x|f(x-2)0}={x|x0或x4},故选B.答案:B3.(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=()A.-3B.-1C.1D.3解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3,故选A.答案:A4.(2010·广东)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则()A.f(x)与g(x)均为偶函数B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数C.f(x)与g(x)均为奇函数D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数解析:由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x)可知g(x)为奇函数.答案:B5.gx,fx___23,(0)(),(___)__.0xxfxx如果函数是奇函数则答案:2x+3类型一函数奇偶性的判断解题准备:判断函数奇偶性的一般方法(1)首先确定函数的定义域,看是否是关于原点对称的.否则,既不是奇函数也不是偶函数.(2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断:①定义判断:f(-x)=f(x)⇔f(x)为偶函数,f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数.②等价形式判断:f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数.f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.,()():11()(();,()).fxfxfxfxfxfx或等价于则为偶函数则为奇函数21,.1fxxx1x1,4;2fxx1111112(1)(0)x1,1;3fx.(1)(0a0,a1x);4fxxxaxxxxxx【典例】判断下列函数的奇偶性并说明理由[分析]判断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点对称,若关于原点对称,再严格按照奇偶性的定义进行推理判断.222 []1fxxx1,x1,4,,fx.2fxx1fx1x1,.fxx1,1111(1)(1)(1)11(1)(1)(1)(1)111(1)(1)(),111fxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxxx解由于的定义域不是关于原点对称的区间因此是非奇非偶函数已知的定义域为其定义域关于原点对称又即xfx,fx. 是偶函数11()12111(1)11121212113fxxR,x0,,f1111(),1xfx,f2x12.xxxxxxxxfxaaaaaafxaa的定义域为且其定义域关于原点对称并且有即为奇函数(1)(0)(1 4fx)(0)xxxxxx的定义域关于原点对称,∵当x0时,-x0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)(x0).当x0时,-x0,∴f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x)(x0).∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.类型二函数的单调性与奇偶性的综合问题解题准备:1.讨论函数的单调性和奇偶性时,应先确定函数的定义域.2.奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.3.将函数的奇偶性和单调性综合运用是考查函数性质的重要题型.22fx,f11x,.1xlogxx【典例】已知函数求函数的定义域并讨论它的奇偶性和单调性  []1;2fxfx0,fxfx;3.1010xxx分析由可求定义域可考虑或直接判断与的关系利用定义判断单调性122221 []fx1x1,x0.1,00,1.fx1,00,1,x1,000,1011111()(),1,,fx.fx0,1,x,x0,1,xx.11xxxxxfxloglogfxxxxx解函数的定义域由解得且所以函数的定义域为因为的定义域为关于原点对称且对有所以为奇函数下面研究在上的单调性任取且1211222112212121122212122112122121221111211111122.1111110,1fxf1.xl1g1oxxlogxxxxxxloglogxxxxxxxxloglogxxxxxxxxxxlogxxxx则又(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)=2(x2-x1)0,∵1-x20,1+x10,∴(1-x2)(1+x1)=1+x1-x2-x1x20.1212121221fxfx0,fx0,1.fx,fx1,0.11,1xxxxxxxx得即在上单调递减由于为奇函数所以在上也是减函数类型三函数的周期性解题准备:三个结论:若a､b是非零常数,且a≠b,则有1:()1fxafxa,T2a;2fxaT2a;3fxafx,1,()1(),1T2a;4fxaT4a().fxfxfx结论逆推式与周期关系结论若则若则若则若则结论2:(对称性与周期关系结论)(1)f(x)关于x=a及x=b对称,则T=2|b-a|;(2)f(x)关于x=b及M(a,0)对称,则T=4|b-a|;(3)f(x)关于M(a,0)和N(b,0)对称,则T=2|b-a|.结论3:(奇偶性与周期关系结论)(1)f(x)是偶函数且关于直线x=a对称,则T=2|a|;(2)f(x)是奇函数且关于直线x=a对称,则T=4|a|.(上述结论中的T为函数的周期,但不一定是最小正周期).3Rfxf22,xfx3f2009________.31,()fx【典例】已知定义在上的函数满足且对任意的都有则 []fx6fx33.6.1(3)1()1()11(23).(2f2009f(33465)f5,f5f32)23(23).fxfxfxf解析由题意可得函数的周期为而故填2[3) ](答案1()[]fx3,fx6.fx反思感悟根据可得到为周期为的函数类型四函数的奇偶性与周期性的综合问题解题准备:奇偶性和周期性都是函数的整体性质.奇偶性是解决函数图象的对称性问题,周期性是解决函数图象的平移问题.函数的单调性揭示函数的局部性质,灵活运用函数性质可解决与函数相关的方程､不等式等综合问题.【典例4】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x,都有f(x+1)=-f(1-x),且方程f(x)=0在[-1,1]上只有一个根,则方程f(x+1)=0的第2000个根是多少.(从x轴右半轴开始从左到右数起).[解]由f(x+2)=-f[1-(x+1)]=-f(-x)=f(x)得:f(x)是周期函数,且周期为2.f(x+1)是把f(x)的图象向左移1个单位.由x∈R,f(x)是奇函数,且f(x)=0在[-1,1]上只有一个根,知f(0)=0,∴方程f(x)=0的第2000个根是4000,∴f(x+1)=0的第2000个根是3999.错源一忽略定义域出错4311fx. xxx【典例】判断的奇偶性4333(1),11[]fxfxfx,fx.xxxxxxx错解因为显然故为奇函数[剖析]判断函数奇偶性,首先要看函数的定义域,若定义域是关于原点的对称区间,则函数可能具有奇偶性;否则,函数一定不具有奇偶性.其次,要看f(x)与f(-x)之间的关系.[正解]函数的定义域为{x|x≠1},定义域不关于原点对称,因此该函数为非奇非偶函数.错源二忽视对参数的讨论【典例2】判断函数f(x)=x2+|x-a|+1(a∈R)的奇偶性.[错解]显然函数定义域为R.因为f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,所以f(-a)≠f(a),且f(-a)≠-f(a),所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.[剖析]此解法错在于没有对参数进行讨论,未考虑到a=0这种特殊情形,以致解题出错.[正解]当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数;当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a),此时f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.技法一快速解题(数形结合法)【典例1】已知定义在R上的函数f(x)不恒为零,且满足f(x+3)=-f(3-x)､f(x+4)=f(4-x),则f(x)是()A.奇函数也是周期函数B.偶函数也是周期函数C.奇函数但非周期函数D.偶函数但非周期函数[快解]由于本题为选择题,故可用数形结合法,画出符合题意的图象即可选对答案.函数f(x)以