化工传递 7热传导

Ch7：热传导本章讨论固体内部的导热问题，重点介绍热传导方程的求解方法，并结合实际情况，探讨导热理论在工程实际中的应用。课后学习与作业：第七章的概念和例题；第七章作业：7-2，7-3，7-6，7-81稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导二、有内热源的一维稳态热传导三、二维稳态热传导（自学）厚度为b的大平壁，一侧温度为t1，另一侧温度为t2，且t1t2，沿平壁厚度方向（x方向）进行一维稳态导热。单层平壁导热xb1t2tq示例工业燃烧炉的炉壁传热；居民住宅的墙壁传热。1.单层平壁一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导导热微分方程的化简：222222()pttttqxyzc)(0无内热源)(0稳态)(0一维化简得022xt022dxtd（6-27a）B.C022dxtd1(1)0,xtt2(2),xbtt第Ⅰ类边界条件xb1t2tq边界条件分类：第Ⅱ类B.C.：绝热边界，指壁面处热通量为零：0Γtkn第Ⅰ类B.C.：恒温边界，指壁面温度已知，sΓtt()sbΓtkhttn第Ⅲ类B.C.：对流边界，指壁面处对流换热已知：（1）温度分布方程求解得xbtttt211)(xft温度分布方程线性（2）导热速率由傅立叶定律qdtkAdx)(21bttdxdt导热速率方程12()kAqttb一、无内热源的一维稳态热传导12()kAqttb12/tttqbkAR导热推动力导热阻力（热阻）热传导推动力热传导速率=热传导热阻（7-10）设平壁是由n层材料构成2.多层平壁稳态导热多层平壁导热x1b2b3bq1t2t3t4t各层壁厚为321bbb、、表面温度为4321tttt、、、且4321tttt各层之间接触良好，相互接触的表面温度相同一、无内热源的一维稳态热传导稳态导热，通过各层平壁截面的传热速率必相等1234qqqqq233412123123ttttttqkAkAkAbbb233412123123ttttttqbbbkAkAkA或三层平壁稳态热传导速率方程14312123ttqbbbkAkAkA对n层平壁，其传热速率方程可表示为11niittqbkA3.单层圆筒壁的一维稳态热传导某一内半径为r1、外半径为r2的圆筒壁，其内侧温度为t1，外侧温度为t2，且t1t2，沿径向进行一维稳态导热。示例化工管路的传热；单层圆筒壁导热1r2tq2r1t间壁式换热器的传热。导热微分方程化简：2222211[())pttttqrrrrrzc)(0无内热源)(0稳态)(0一维化简得0)(rtrr0)(drdtrdrdB.C(1)(2)第一类边界条件,1rr,2rr1tt2tt0)(drdtrdrd单层圆筒壁导热1r2tq2r1t（1）温度分布方程求解得112211ln)/ln(rrrrtttt温度分布方程对数型（2）导热速率由傅立叶定律qdtkAdrrrrttdrdt1))/ln((1221※通过筒壁进行径向一维稳态热传导时，温度分布是r的对数函数！可写成与单层平壁热传导速率方程相类似的形式1221mttqkArr212122ln()mmrrALrLrr其中单层圆筒壁导热速率方程12212ln(/)ttqkLrr21212211222lnln2mLrLrAAALrALrA2121lnmrrrrr或圆筒壁的对数平均半径圆筒壁的对数平均面积4.多层圆筒壁的稳态热传导假设层与层之间接触良好，即互相接触的两表面温度相同。多层圆筒壁的热传导热传导速率：1432411223314324321112233111lnlnln222mmmttqrrrLkrLkrLkrttrrrrrrkAkAkA对n层圆筒壁，为11nniiimittqbkA示例管式固定床反应器核燃料棒发热圆柱体的导热二、有内热源的一维稳态热传导某半径为R，长度为L的细长实心圆柱体，其发热速率为，表面温度为tw，热量通过圆柱体表面散出，传热为一维稳态导热过程。例：q&发热圆柱体的导热wtqrqwt发热圆柱体的导热导热微分方程简化：2222211[())pttttqrrrrrzc&)(0稳态)(0一维得1()0tqrrrrk&1()0ddtqrrdrdrk&（7-19）B.C(1)(2),Rrwtt第一类边界条件1()0ddtqrrdrdrk&,RrdrdtRLkLRq22第二类边界条件kRqdrdt2Rr当温度分布方程为求解得)(422rRkqttw温度分布方程抛物线型0r当max0ttt2max04wqRtttk&最高温度导热速率为LRqq2导热速率即为发热速率故20)(1Rrttttww无量纲温度分布方程一、内热阻可忽略的不稳态导热二、忽略表面热阻的不稳态导热三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热四、多维不稳态热导热2不稳态导热P141一、内热阻可忽略的不稳态导热若固体的k很大，环境流体与固体表面间的对流传热系数h较小时，可认为在任一时刻固体内部各处的温度均匀一致。tb初始温度（高温）为t0的金属球，在θ=0时刻放入温度为tb的大量环境流体（如水）中冷却。试求球体温度随时间的变化。ρ设：金属球的密度,体积为V、表面积为A、比热容为c、初始温度t0。环境流体的主体温度tb（恒定），流体与金属球表面的对流传热系数为h。以球表面为控制面，作热量衡算，得0()bdthAttρVcdθ0I.C.0,θtt热量衡算，放热速率应等于其表面与流体间的对流传热速率，即tbVchAbbetttt00※忽略物体热内阻情况下，物体温度与时间呈指数的定量关系式bt流体的主体温度0t物体的初始温度t任一时刻物体的温度流体与物体表面的对流传热系数h物体的表面积A导热时间物体密度物体体积V物体的比热容c（7-28）0exp()bbtthAθttρVc物体温度随时间的变化222()()[][]hVAhAθhAθaθρVcρVkkAVckVA进一步分析：hVAhlBikk物理意义：物体内部的导热热阻与表面对流热阻之比。对流传热阻力导热阻力长度导热系数对流传热系数长度Bi（1）—毕渥数（Biotnumber）①Bi大，表示物体内部的导热热阻起控制作用，物体内部存在较大的温度梯度；②Bi小，表示物体内部的热阻很小，表面对流传热的热阻起控制作用，物体内部的温度梯度很小，在同一瞬时各处温度均匀。实验表明：当Bi0.1时，可采用集总热容法处理，其误差不超过5%。2aθFoVA（2）傅立叶数（Fouriernumber）。物理意义：0exp()bttBiFott提示：在求解不稳态传热问题时，首先要计算Bi的值，视其是否小于0.1，以便确定该传热问题能否采用集总热容法处理。时间之比，即无因次时间。（7-32）当表面热阻＜＜内热阻，即Bi＞＞0.1时，表面热阻可略，此时表面温度ts在θ0的所有时间内均为一个常数，且基本等于环境温度。典型问题有：（1）半无限大固体的不稳态导热；（2）大平板的不稳态导热。二、忽略表面热阻的不稳态导热（1）半无限大固体的不稳态导热zx0yt=t0(θ＜0)0≤x＜∞∞＜y＜∞∞＜z＜∞22ttαθxB.C.(1)0,(0)sbxtttθ0(2),(0)xttθ0I.C.0,θtt（对于所有x）相对厚（如某些墙壁）或相当长的柱体（如长棒）可近似地视为无限厚或无限长的固体。可将这类物体的导热问题视为只沿x方向进行的一维导热问题处理。（1）地面气温突然变化时土壤温度随之变化的问题；（2）大建筑物表面温度变化时内部温度随之变化的问题；（3）大块钢锭的热处理问题等等：（7-19）变量置换法求解，引入无因次变量：4xηaθ2ttηηtθηθθη14ttηtxηxηaθ222214ttηtηηtxxηxηηxxaθη2220ttηηη2220dtdtηdηdη0B.C.(1),ηtt(2)0,sηtt求解：拉普拉斯变换法和合成变量法拉普拉斯变换法：求解微分方程转变为求解代数方程合成变量法：两个定解条件合并为一个定解条件（7-34）2002ηηsstttedηtπ0()4ssttxerfttaθ温度分布为或xtt0tsθ=∞θ1θ2θ3未影响区域（7-43）（7-44）高斯误差积分或误差函数设左端面的面积为A，则瞬时导热通量为0000θxxsqttηkkAxηxttkπaθ（7-46）其中st0t初始温度某一端面的温度erf误差函数（高斯误差积分）总热量002ttAkQsJA截面面积k导热系数ksmJ时间（7-47）某地区土壤的温度初始为3.7oC，寒潮来临使土壤表面的温度突然降至-10oC，试计算距土壤表面1m深处的土壤层降至0oC时所经历的时间t(s)。已知，土壤的α=0.194x10-6m2/s土壤层内的温度分布遵循高斯误差函数其中，4xerf0.760.780.800.820.720.730.740.75t0=3.7+293=296.7K，求解：ts=-10+293=283K，t=0+293=293K78.010*194.04146x73.02837.2962832930sstttterfη=0.78θ=588h（2）两端面均为恒壁温的大平板的不稳态导热P148ts=tb－llx0ts=tb设：平板的初始温度各处均匀为t0，在θ=0时刻，两端面的温度突然变为ts=tb=常数22ttαθx0I.C.0,θttB.C.(1),sxltt(2)0,0txx（7-33）分离变量法求解，令*0ssttTtt*xLl2aθFol*2**2TTFoL*****(1)0,1;(2)1,0;(3)*0,0FoTLTTLL定解条件：（7-51）2222032524*[cos(*)21315cos(*)cos(*)]3252πFssπFπFttπTeLttπππeLeL温度分布为（7-70）x0l任意时刻温度t=t(x,θ)θ1t0tsθ2温度分布图示：三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热工程实际中，更常见的是两平板端面与周围介质有热交换的不稳态导热问题。此类问题的边界条件属于第Ⅲ类边界条件。ts－llx0tb22ttαθx0I.C.0,;θttB.C.(1),;sbtxlkhtθtx(2)0,0txx（7-33）采用分离变量法求解，得22102sincos/sincosiδαθliibibiiiδδxlttettδδδcos1,2,3,......iikλlλihiiδλl2102sincossincosiλαθiibibiiiλlλxttettλlλlλl式中（7-72）（7-75）22102sincos/sincosiδαθliibibiiiδδxlttettδδδ令*0bbbttTtt11ikmhxB21aθFox1xnx*(,,)bTfmnFo为便于计算，将上式绘成图线。简易图算法：P153•无因次温度bbbttttT