高考数学总复习 第10章 第8节 二项分布和正态分布课件 理 新人教A版

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（理）第八节二项分布和正态分布1.考纲要求考情分析1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．2.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.1.从考查内容看，高考对本节的考查主要是求条件概率、相互独立事件及n次独立重复试验的概率，且常与分布列、期望与方差结合在一起命题．另外，正态分布密度曲线的特点及应用也是考查的热点．2.从考查形式看，三种题型都可能出现，属中档题.一、条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝PABPA为在发生的条件下，发生的条件概率.(1)0≤P(B|A)≤1(2)若B、C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝事件A事件BP(B|A)＋P(C|A)二、相互独立事件设A，B为两个事件，若P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立．1．如果A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．2．如果A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．P(A)P(B)1．“独立事件”与“互斥事件”有何不同？提示：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响．两事件相互独立不一定互斥．三、二项分布1．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝______________________2．一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝___________________，k＝0,1,2，…n，此时称随机变量服从二项分布，记作________________并称p为．P(A1)P(A2)…P(An)Cpk(1－p)n－kX～B(n，p)成功概率四、正态分布1．正态曲线函数φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称．(如图所示)正态曲线2．正态分布(1)一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝∫baφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从，记作X～N(μ，σ2)．(2)常用数据．P(μ－σX≤μ＋σ)＝.P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝.P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝.正态分布0.68260.95440.9974(3)应用正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而区间以外取值的概率只有.通常认为这种情况在第一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为原则．0.00263σ3．正态分布密度曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“痩高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．2．参数μ，σ2在正态分布中的实际意义是什么？提示：μ是正态分布的期望，σ2是正态分布的方差．1．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A.49B.29C.427D.227答案：A解析：所求概率P＝C13·131·1－133－1＝49.2．已知随机变量X～B(6，13)，则P(X＝2)等于()A.1316B.4243C.13243D.80243解析：P(X＝2)＝C26×132×234＝15×1636＝80243.答案：D解析：由条件知x＝k为正态密度曲线的对称轴，故k＝2.答案：A3．若随机变量ξ～N(2,100)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于()A．2B．10C.2D．可以是任意实数4．在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为________．解析：第1次摸出红球后，还有9个球；其中5个红球和4个白球，故第2次也摸出红球的概率为59.答案：595．甲、乙两个袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球，现分别从甲、乙两袋中各抽取1个球，则取出的两个球都是红球的概率为________．解析：从甲袋中取出红球的概率为46＝23，从乙袋中取出红球的概率为16，所以所求事件的概率为23×16＝19.答案：19【考向探寻】1．条件概率计算公式的应用2．求相互独立事件同时发生的概率．【典例剖析】(1)(2013·莆田模拟)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P(B)＝25；②P(B|A1)＝511；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关．(2)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116.①求乙投球的命中率p；②求甲投球2次，至少命中1次的概率；③若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．题号分析(1)根据概率的相关知识逐一判断(2)①由乙投两次均未命中的概率可得P的方程．②直接法或间接法求解．③分各有一人进两次和每人各进一次3种情况求解.(1)解析：对于①，P(B)＝C15C110×C15C111＋C15C110×C14C111＝922；对于②，P(B|A1)＝C15C111＝511；对于③，由P(A1)＝12，P(B)＝922，P(A1·B)＝522，故P(A1·B)≠P(A1)·P(B)，因此事件B与事件A1不是相互独立事件；对于④，从甲罐中只取一球，故取出红球就不可能是他颜色的球，故两两互斥；对于⑤，由①可算得．故②④正确．答案：②④(2)解：①法1：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.由题意得(1－P(B))2＝(1－p)2＝116，解得p＝34或p＝54(舍去)，所以乙投球的命中率为34.法2：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.由题意得P(B)P(B)＝116，于是P(B)＝14或P(B)＝－14(舍去)，故P＝1－P(B)＝34.所以乙投球的命中率为34.②方法1：由题设和①知，P(A)＝12，P(A)＝12.故甲投球2次至少命中1次的概率为1－P(A·A)＝34.方法2：由题设和①知，P(A)＝12，P(A)＝12.故甲投球2次至少命中1次的概率为C12P(A)P(A)＋P(A)P(A)＝34.③由题设及①知，P(A)＝12，P(A)＝12，P(B)＝34，P(B)＝14.甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分别为P1＝C12P(A)P(A)C12P(B)P(B)＝316，P2＝P(A·A)P(B·B)＝164，P3＝P(A·A)P(B·B)＝964.所以甲、乙两人各投球2次且共命中2次的概率为316＋164＋964＝1132.条件概率的求法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，根据P(B|A)＝PABPA求解．(2)利用古典概型概率公式求解，即先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，利用P(B|A)＝nABnA求解．1.(1)在等可能事件的问题中，求条件概率第二种方法更易理解．(2)题目条件中若出现“在……的条件下……发生的概率”时，一般为条件概率．2．求相互独立事件同时发生的概率的方法：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【活学活用】1．甲射击命中目标的概率为0.75，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为()A.12B．1C.1112D.56答案：C解析：P＝34×13＋14×23＋34×23＝1112.2．设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为______．解析：由条件知P(AB)＝310，P(B|A)＝12.∴P(B|A)＝PABPA＝310PA＝12∴P(A)＝310×2＝35.答案：35【考向探寻】1．独立重复试验概率计算公式的应用．2．二项分布的有关运算．【典例剖析】(1)设X～B(2，p)，Y～B(4，p)，已知P(X≥1)＝59，则P(Y≥1)＝______(2)(12分)(2012·天津高考)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．①求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；②求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；③用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．(1)由P(x≥1)＝59求得P，然后根据二项分布的概率公式求解．(2)①运用n次独立重复试验概率公式求解；②运用互斥事件概率公式求解．③先确定ξ的所有可能取值，再求概率，列表，最后求E(ξ)．(1)∵X～B(2，p)∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C02(1－p)2＝2p－p2＝59即9p2－18P＋5＝0解得p＝13或p＝53(舍去)．又X～B(4，13)∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C04(23)4＝1－1681＝6581答案：6581(2)由题意知，这4个人中每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)．则P(Ai)＝Ci413i234－i.…………………………………2分①这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)＝C24132232＝827.………………………………4分②设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C34133×23＋C34134＝19.所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.……………………………………6分③由题意知ξ的所有可能取值为0,2,4.…………7分由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝827，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝4081，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝1781.………………………10分所以ξ的分布列是ξ024P82740811781……………………………………………………11分∴E(ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.…………12分(1)二项分布是一种重要的概率分布，其应用非常广泛，也是高考考查的重点．把握二项分布关键是理解好独立重复试验及问题中要研究的随机变量是什么．(2)判断随机变量是否服从二项分布的依据：①在每次试验中，试验的结果只有