高考数学总复习 第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 新人教A版

第三章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.考纲要求考情分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.1.从考查内容看，利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考的重点，公式的逆用、变形应用是高考的热点．2.从考查题型看，三种题型都可能出现，常将公式变形与三角函数的性质结合在一起考查，一般属中档题.一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝；cos(α±β)＝；tan(α±β)＝.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ∓sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ常用变形为：tanα＋tanβ＝；tanα－tanβ＝；tanαtanβ＝.tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)1－tanα＋tanβtanα＋β二、二倍角公式sin2α＝.cos2α＝＝＝；tan2α＝.常用变形为：sin2α＝；cos2α＝.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α1－cos2α21＋cos2α21．你能用tanα来表示sin2α，cos2α吗？提示：sin2α＝2tanαtan2α＋1；cos2α＝1－tan2α1＋tan2α.三、形如asinx＋bcosx的式子的化简(辅助角公式)asinx＋bcosx＝其中tanφ＝ba.a2＋b2sin(x＋φ)2．你能推导这一公式吗？提示：asinx＋bcosx＝a2＋b2aa2＋b2sinx＋ba2＋b2cosx＝a2＋b2(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝a2＋b2sin(x＋φ).其中tanφ＝ba.辅助角公式在解决三角问题中有很大的作用，其本质就是两角和(差)正弦公式的逆用．1．下列各式中，值为32的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°解析：2sin15°cos15°＝sin30°＝12，A不正确；cos215°－sin215°＝cos30°＝32，B选项正确．答案：B2．若α∈0，π2，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于()A.22B.33C.2D.3解析：由二倍角公式得sin2α＋1－2sin2α＝14，即－sin2α＝－34，sin2α＝34，又因为α∈0，π2，所以sinα＝32，故α＝π3，所以tanα＝tanπ3＝3，故选D.答案：D3．已知α∈π2，π，tanα＋π4＝17，则cosα等于()A.35B．－35C.45D．－45解析：由tanα＋π4＝17得1＋tanα1－tanα＝17，所以tanα＝－34，∴cos2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1＝1625.又α∈π2，π，∴cosα＝－45.答案：D4．已知sinθ＋π4＝35，θ为钝角，则sinθ＝________.解析：方法一：sinθ＋π4＝22(sinθ＋cosθ)＝35∴sinθ＋cosθ＝325.①两边平方得1＋2sinθcosθ＝1825.∴2sinθcosθ＝－725.∵θ为钝角，∴sinθ0，cosθ0，∴sinθ－cosθ＝sinθ－cosθ2＝1－2sinθcosθ＝425.②由①②得sinθ＝7210.方法二：因为θ为钝角，所以θ＋π4∈3π4，5π4，又sinθ＋π4＝35，所以cosθ＋π4＝－45，所以sinθ＝sinθ＋π4－π4＝sinθ＋π4·cosπ4－cosθ＋π4·sinπ4＝35×22－－45×22＝7210.答案：72105．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝______.解析：∵2α＝(α＋β)＋(α－β)，∴tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tanα＋β＋tanα－β1－tanα＋βtanα－β＝3＋51－3×5＝8－14＝－47.答案：－47【考向探寻】利用公式化简三角函数式．【典例剖析】(1)2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是A．4cos4－2sin4B．2sin4C．2sin4－4cos4D．－2sin4(2)化简下列各式：①2sin50°＋sin80°1＋3tan10°1＋cos10°；②2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α.题号分析(1)利用倍角公式化简即可，注意符号问题．(2)利用诱导公式、两角和(差)公式化简.(1)解析：原式＝2×2cos24＋2sin4－cos42＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4.答案：D②原式＝cos2α2tanπ4－α·cos2π4－α＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α＝cos2αsinπ2－2α＝cos2αcos2α＝1.三角函数式化简要遵循的“三看”原则(1)一看“角”．这是最重要的一点，通过角之间的关系，把角进行合理拆分与拼凑，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”．看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式．(3)三看“结构特征”．分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．【活学活用】1．化简：(tan10°－3)cos10°sin50°.解：原式＝sin10°cos10°－3cos10°sin50°＝sin10°－3cos10°sin50°＝2sin10°－60°sin50°＝－2.【考向探寻】1．给角求值问题．2．给值求值问题．3．给值求角问题．【典例剖析】(12分)已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．(1)sinα＝2sinα2·cosα2→sinα＝2tanα21＋tan2α2→求出sinα的值(2)已知cosβ－α，sinα→sinβ－α，cosα→利用β＝β－α＋α可求得sinβ→求得β(1)∵tanα2＝12，∴sinα＝sin2·α2＝2sinα2cosα2………………………2分＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2……………………………3分＝2×121＋122＝45.…………………………………………4分(2)∵0απ2，sinα＝45，∴cosα＝35.…………………6分又0απ2βπ，∴0β－απ.由cos(β－α)＝210，得0β－απ2.∴sin(β－α)＝9810＝7210，……………………………8分∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝7210×35＋210×45＝25250＝22.……………………10分由π2βπ得β＝34π.……………………………………12分(另也可求得cosβ＝－22，得β＝34π)．【互动探究】将例2(2)中条件“tanα2＝12”改为“sinα＝35”，其余条件不变，试求2α－β的值．解：由已知sinα＝35，0απ2，得cosα＝45，又cos(β－α)＝210，0β－απ2，∴sin(β－α)＝7210.∴sin(2α－β)＝sin[α－(β－α)]＝sinαcos(β－α)－cosαsin(β－α)＝－22，又0απ2，0β－απ2，∴－π22α－βπ2.∴2α－β＝－π4.(1)解决给值求值问题的一般思路：①先化简需求值的式子；②观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；③将已知条件代入所求式子，化简求值．(2)解决给值求角问题的一般步骤：①求出角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围确定所求的角．解决给值求角问题时，应注意根据条件选择恰当的函数名，具体为：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是0，π2，选正、余弦都可；若角的范围是(0，π)，则选余弦；若角的范围为－π2，π2，则选正弦.【考向探寻】利用公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)其中tanφ＝ba解决有关问题．【典例剖析】(1)设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝62.则a，b，c按从小到大的顺序排列为________．(2)(2013·营口模拟)已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.①求f(x)的最小正周期；②求f(x)的单调区间；③若x∈0，π2，求f(x)的最大值及最小值．(1)将a，b，c化为同名三角函数，根据单调性比较大小．(2)将所给函数化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后分别求解．(1)解析：a＝sin14°＋cos14°＝2sin59°，b＝sin16°＋cos16°＝2sin61°，c＝62＝2sin60°.∵59°60°61°，∴sin59°sin60°sin61°，∴acb.答案：acb(2)解：①f(x)＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x＝cos2x－sin2x＝2cos2x＋π4，T＝2π2＝π.②由2kπ－π≤2x＋π4≤2kπ，(k∈Z)，得kπ－58π≤x≤kπ－π8，k∈Z，∴函数f(x)的单调增区间为kπ－58π，kπ－18π(k∈Z)．由2kπ≤2x＋π4≤2kπ＋π，k∈Z.得kπ－18π≤x≤kπ＋38π，k∈Z∴函数f(x)的单调减区间为kπ－18π，kπ＋38π(k∈Z)．③∵0≤x≤π2，∴π4≤2x＋π4≤5π4，∴－1≤cos2x＋π4≤22，∴－2≤f(x)≤1.∴当x＝0时，f(x)有最大值为1，当x＝38π时，f(x)有最小值为－2.利用asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)把形如y＝asinx＋bcosx＋k的函数化为一个角的某种三角函数的形式，进而可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等．辅助角公式中，当φ为特殊角，即|ab|的值为1或3或33时要熟练掌握，对φ是非特殊角的情况，只要求会求最值即可．【活学活用】2．已知函数f(x)＝3sin2x－2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值；(2)求函数f(x)的零点的集合．解：(1)f(x)＝3sin2x－(1－cos2x)＝2sin2x＋π6－1，所以，当2x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，即x＝kπ＋π6，k∈Z时，函数f(x)取得最大值1.(2)方法一：由(1)及f(x)＝0得sin2x＋π6＝12，所以2x＋π6＝2kπ＋π6或2x＋π6＝2kπ＋5π6，k∈Z，即x＝kπ或x＝kπ＋π3，k∈Z.故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ或x＝kπ＋π3，k∈Z}．方法二：由f(x)＝0得23sinxcosx＝2sin2x，于是sinx＝0或3cosx＝sinx.由sinx＝0得x＝kπ，k∈Z；由3cosx＝sinx，得tanx＝3，故x＝kπ＋π3，k∈Z.故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ或x＝kπ＋π3，k∈Z}.若sinα＝55，sinβ＝1010，且α，β为锐角，求α＋β的值．因为α为锐角，所以cosα＝1－sin2α＝255.又β为锐角，所以cosβ＝1－sin2β＝31010且sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsi