高考数学总复习 第4章 第1节 平面向量的概念及其线性运算课件 新人教A版

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算1.考纲要求考情分析1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.本节是平面向量的起始部分，从历年的高考看，平面向量的线性运算、共线向量定理是考查的重点和热点．2.考查的题型多为选择题、填空题；向量与三角、解析几何交汇命题时则出现在解答题中，难度一般不大，属中低档题.一、向量的有关概念1．向量平行与直线平行有什么区别？提示：向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝.b＋aa＋(b＋c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ＞0时，λa与a的方向；当λ＜0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝.λ(μa)＝；(λ＋μ)a＝；λ(a＋b)＝.相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb三、共线向量定理向量a(a≠0)与向量b共线的充要条件为存在唯一一个实数λ，使.b＝λa2．如何用向量法证明三点A、B、C共线？提示：证明AB→＝λAC→(或AB→＝λBC→或AC→＝λBC→)，即证明AB→与AC→共线，又因为有一公共点，所以三点共线．1．判断下列各命题的真假：(1)向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；(2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(5)向量AB→与向量CD→是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；(6)有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为()A．2B．3C．4D．5解析：理解基本概念的内涵，按照定义逐个判定．(1)真命题；(2)假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(3)真命题；(4)假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；(5)假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；(6)假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．答案：C2.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→等于()A．－BC→＋12BA→B．－BC→－12BA→C.BC→－12BA→D．BC→＋12BA→解析：∵D是AB的中点，∴BD→＝12BA→.∴CD→＝CB→＋BD→＝－BC→＋12BA→.答案：A3．给出下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.则正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：①中两向量共线，则这两向量的方向不一定相同，故不一定相等；②中向量的模相等，则这两向量不一定相等；③两向量的模相等，但方向不一定相同，故两向量不一定相等；④中，向量相等，则模一定相等，故正确．答案：A4．化简(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝________.解析：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝(AB→＋BD→)－(AC→＋CD→)＝AD→－AD→＝0.答案：05．(理)已知a，b是不共线的向量，若AB→＝λ1a＋b，AC→＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为________．解析：由A、B、C三点共线可得AB→＝kAC→，从而λ1a＋b＝k(a＋λ2b)，即(λ1－k)a＋(1－kλ2)b＝0.由a，b不共线得λ1－k＝01－kλ2＝0，解得λ1λ2＝1.答案：λ1λ2－1＝05．(文)设a，b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.解析：由题意知a＋λb＝k(2a－b)，则有：1＝2k，λ＝－k，∴k＝12，λ＝－12.答案：－12【考向探寻】1．与平面向量的概念有关的命题真假的判断．2．有关单位向量、相等向量、共线向量的概念问题．平面向量的有关概念【典例剖析】(1)下列命题正确的是A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行(2)(2013·宜宾模拟)给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若a与b同向，且|a||b|，则ab；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的序号为______．(写出所有错误命题的序号)题号分析(1)结合向量的基本概念逐一判断即可．(2)根据共线向量的概念逐一判断.解析：(1)当b为0时，a与c不一定共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，也不可能是个平行四边形，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任意向量都共线，可得a与b共线．答案：C(2)①不正确，当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线；②不正确，向量不能比较大小；③不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可为任意向量，不一定共线．综上①②③都不正确．答案：①②③涉及平面向量的有关概念的命题真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：(1)零向量的方向及与其他向量的关系；(2)单位向量的长度及方向．【活学活用】1．给出下列命题①若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；②0a＝0；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；④若a与b为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中所有正确命题的序号是________．解析：①正确；②数与向量的积为向量，而不是数，故不正确；③当a＝b时，|a|＝|b|且a∥b，反之不一定成立，故错误；④中，当a，b不同向时不成立，故错误．答案：①【考向探寻】1．与平面向量线性运算及性质有关的命题．2．平面向量线性运算的几何意义的应用．向量的线性运算【典例剖析】(1)如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则A.AD→＋BE→＋CF→＝0B.BD→－CF→＋DF→＝0C.AD→＋CE→－CF→＝0D.BD→－BE→－FC→＝0(2)已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：EF→＝12(AB→＋DC→)．(1)利用平面向量的线性运算并结合图形可求．(2)结合图形，利用向量加法的法则进行求解可证得结论．(1)解析：∵AB→＋BC→＋CA→＝0，∴2AD→＋2BE→＋2CF→＝0，即AD→＋BE→＋CF→＝0.答案：A(2)解：如图所示，∵E、F是AD与BC的中点，∴EA→＋ED→＝0，FB→＋FC→＝0，又∵AB→＋BF→＋FE→＋EA→＝0，∴EF→＝AB→＋BF→＋EA→，①同理EF→＝ED→＋DC→＋CF→，②由①＋②得，2EF→＝AB→＋DC→＋(EA→＋ED→)＋(BF→＋CF→)＝AB→＋DC→，∴EF→＝12(AB→＋DC→)．三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则；当M为BC中点时，AM→＝12(AB→＋AC→)应作为公式记住．【活学活用】2．如图，△ABC中，AD→＝23AB→，M为BC中点，过CD交AM于点P，设AB→＝a，AC→＝b，若AP→＝λAM→，CP→＝μCD→，求λ，μ.解：CD→＝AD→－AC→＝23AB→－AC→＝23a－b，AM→＝12a＋12b，∴AC→＝AP→＋PC→＝AP→－CP→＝λAM→－μCD→＝λ12a＋12b－μ23a－b＝λ2－2μ3a＋λ2＋μb.又AC→＝b，∴λ2－2μ3＝0，λ2＋μ＝1，解得λ＝45，μ＝35.即λ＝45，μ＝35.【考向探寻】利用向量的共线定理判断三点共线、两条直线平行．共线向量定理的应用【典例剖析】(1)已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则A、B、C、D四点中，一定共线的三点是________．(2)(12分)设e1，e2是两个不共线向量，已知AB→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2.①求证：A、B、D三点共线．②若BF→＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．(1)条件特点→判断AB→、BD→共线→点共线；(2)①证明AB→＝2BD→→AB→∥BD→→A、B、D共线；②BD→∥BF→→BD→＝λBF→→列方程组→求得k.(1)BD→＝BC→＋CD→＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB→，∴BD→与AB→共线，又∵有公共点B，∴A、B、D三点共线．答案：A、B、D(2)①由已知得BD→＝CD→－CB→＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，3分∵AB→＝2e1－8e2，又AB→与BD→有公共点B，∴AB→＝2BD→，∴A、B、D三点共线.6分②由①可知BD→＝e1－4e2，又BF→＝3e1－ke2，设BF→＝λBD→，8分即3e1－ke2＝λe1－4λe2∵e1、e2不共线．∴λ＝3－k＝－4λ，………………………………………10分解得k＝12，∴k＝12.………………………………………………12分共线向量定理的条件和结论是充要条件，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．若a，b是两个不共线的非零向量，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论的应用非常广泛．【活学活用】3．设两个非零向量a，b不共线，若向量ka＋b和a＋kb共线反向，求k的值．解：∵ka＋b与a＋kb共线反向，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ0)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1.又λ0，∴k＝－1.即当k＝－1时两向量共线反向.忽视题目中的隐含条件致误(2013·济宁模拟)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足AM→＝34AB→＋14AC→，则△ABM与△ABC的面积之比等于A.34B．14C.13D．12A或C或D.解答本题时易出现的错误是不能确定点M的位置，从而导致无法解题或错选，主要原因是忽视了B、C、M三点共线的条件．解析：由AM→＝34AB→＋14AC→，知B，C，M三点共线，所以点M在直线BC上．设|AE|＝34|AB|，|AD|＝14|AC|，则AEMD为平行四边形．于是|BM|＝14|BC|，于是点M到直线AB的距离是点C到直线AB距离的14.故△ABM与△ABC的面积之比等于14.故选B.答案：B已知A、B是平面内的两点，则点P在直线AB上的充要条件可表达为存在平面内一点O，使OP→＝xOA→＋yOB→，其中x＋y＝1，在解题中要注意这一条件的运用．