2019届北京师大实验中学高三(上)期中数学(文)试题(解析版)

第1页共15页2019届北京师大实验中学高三（上）期中数学（文）试题一、单选题1．设集合{|}Axxa，集合{1,1,2}B，若ABB，则实数a的取值范围是（）（A）(1,)（B）(,1)（C）(1,)（D）(,1)【答案】D【解析】试题分析：由ABB，知BA，所以1a，故选D．【考点】集合的运算，集合的关系．2．下列函数中，值域为[0,)的偶函数是（）（A）21yx（B）lgyx（C）||yx（D）cosyxx【答案】C【解析】试题分析：B，D不是偶函数，A是偶函数，但值域为[1,)，C是偶函数，值域也是[0,)．故选C．【考点】函数的奇偶性与值域．3．设M是ABC所在平面内一点，且BMMC，则AM（）（A）ABAC（B）ABAC（C）1()2ABAC（D）1()2ABAC【答案】D【解析】试题分析：AMABBM，又AMACCMACMC，所以2AMABAC，即1()2AMABAC．故选D．【考点】向量的线性运算．第2页共15页4．设命题p：“若，则”，命题q：“若，则”，则（）A．“”为真命题B．“”为真命题C．“”为真命题D．以上都不对【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，故正确，而时，不成立，故错，由真值表知，正确，故选B.【考点】1、复数的定义；2、复数的运算.5．我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，新本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箱，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤：在细的一端截下一尺，重二斤，问依次每一尺各重几斤？“根据已知条件，若金蕃由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为A．6斤B．9斤C．10斤D．12斤【答案】B【解析】根据题意设出等差数列的首项和第五项，通过公式计算出公差，根据等差数列的性质书暗处中间三项的和.【详解】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项，则，则，由等差数列性质得，，中间三尺的重量为9斤．故选：B．【点睛】第3页共15页本小题主要考查中国古代数学文化史，考查等差数列的通项公式以及等差数列的性质，属于基础题.等差数列的通项公式求解有很多种方法，一种是将已知条件都转化为和的形式，然后列方程组来求解；另一种是利用，先求出公差，再来求首项.6．实数是方程表示实轴在轴上的双曲线的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：“曲线是焦点在x轴上的双曲线”，则，，但当时，可能有，此时双曲线的焦点在轴上，因此“”是“曲线是焦点在x轴上的双曲线”的必要而不充分条件．故选B．【考点】充分必要条件7．设，满足约束条件若的最大值与最小值的差为7，则实数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（m﹣1，m），化z=x+3y，得．由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，当直线过B时，z有最大值为4m﹣1，第4页共15页由题意，7﹣（4m﹣1）=7，解得：m=．故选：C．【考点】简单线性规划．8．设直线l：，圆C：，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，Q为切点满足，则a的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】先由圆的方程求得圆心和半径，将两条切线所成的角为的问题，通过为等腰直角三角形，计算出的长度为，由此转化为圆心到直线的距离小于或等于来列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】圆C：，圆心为：，半径为，在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，Q为切点满足，在直线l上存在一点M，使得M到的距离等于2，只需到直线l的距离小于或等于2，故，解得，故选：C．【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数第5页共15页学思想方法，属于基础题.二、填空题9．______．【答案】【解析】将利用终边相同的角转化为范围内的角，再利用特殊角的三角函数值求得最终的结果.【详解】：，故答案为：．【点睛】本小题主要考查终边相同的角，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.10．若抛物线22Cypx：的焦点在直线30xy上，则实数p____；抛物线C的准线方程为．【答案】6，3x【解析】试题分析：抛物线2:2Cypx的焦点是(,0)2p，由题意的0302p，6p，准线方程为3x．【考点】抛物线的几何性质．11．能够说明“存在不相等的正数a，b，使得”是真命题的一组a，b的值为______．【答案】，3【解析】找到两个不相等的正数，使得它们的和等于它们的乘积，从而得出正确结果.【详解】取，，得到，第6页共15页能够说明“存在不相等的正数a，b，使得”是真命题的一组a，b的值为，3．故答案为：答案不唯一【点睛】本小题主要考查命题为真命题的条件，考查利用特殊值的方法证明存在性问题为真命题.属于基础题.12．已知函数()fx的部分图象如图所示，若不等式2()4fxt的解集为(1,2)，则实数t的值为____．【答案】1【解析】试题分析：由题意03xt，3txt，所以132tt，1t．【考点】函数的单调性．13．已知椭圆C：，，是其两个焦点，P为C上任意一点，则的最大值为______．【答案】1【解析】先求得椭圆焦点的坐标，设出点的坐标代入向量数量积的坐标运算，利用椭圆标准方程化简后，利用二次函数的最值的求法，求得最大值.【详解】依题意得，，设，则，即，故答案为：Oxy4-23第7页共15页【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查向量数量积的坐标运算，考查式子的最大值的求法，属于基础题..14．设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数．若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则______填是或否可能为1．若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则可能取值只能是______．【答案】是【解析】（1）问题相当于圆的四等分点，只需将圆的半径设为，且点为四等分点中的一个，可以符合题意，故点是.（2）令分别等于四个选择项的值，根据旋转后图像与原图像重合，利用函数对应法则的概念，对四个选择项注意判断，由此得出正确结论.【详解】（1）由题意得到：问题相当于圆上由4个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当（2）通过代入，当，，0时此时得到的圆心角为，，0，然而此时或者时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，第8页共15页因此答案就选：．故选：是；．【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解，考查圆的几何性质以及函数的定义等知识.属于基础题.三、解答题15．已知数列{}na是等比数列，并且123,1,aaa是公差为3的等差数列．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设2nnba，记nS为数列{}nb的前n项和，证明：163nS．【答案】（Ⅰ）42nna；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）要求等比数列的通项公式，可先求得首项1a和公比q，因此要列出两个方程，这可由123,1,aaa是公差为3的等差数列得到，解得1,aq后可得通项公式；（Ⅱ）数列{}nb是由等比数列{}na的偶数项形成的，因此它也是等比数列，公式为2q，由等比数列前n项和公式可得nS，从而证得题设不等式．试题解析：（Ⅰ）设等比数列{}na的公比为q，因为123,1,aaa是公差为3的等差数列，所以213213,(1)3,aaaa即112114,2,aqaaqaq解得118,2aq．所以114118()22nnnnaaq．（Ⅱ）证明：因为122214nnnnbaba，所以数列{}nb是以124ba为首项，14为公比的等比数列．第9页共15页所以14[1()]4114nnS16116[1()]343n．【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和．16．已知函数3()cos(sin3cos)2fxxxx，xR．（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）若(0,π)x，求函数()fx的单调增区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）增区间为π(0]12,，7π[,π)12．【解析】试题分析：（Ⅰ）解决这类问题，要利用三角公式把函数化为()sin()fxAxk形式，本题中首先用二倍角公式化角为2x，再由两角和的正弦公式化为一个三角函数形式：sin(2)3x，由公式2T可得最小正周期，（Ⅱ）由正弦函数的性质可得所求单调增区间．试题解析：（Ⅰ）3()cos(sin3cos)2fxxxx23sincos(2cos1)2xxx13sin2cos222xxπsin(2)3x，所以函数()fx的最小正周期2π=π2T．（Ⅱ）由ππππ2π+23222xkk≤≤，kZ，得5ππππ+1212xkk≤≤，所以函数()fx的单调递增区间为5ππππ+]1212[kk,，kZ．所以当(0,π)x时，()fx的增区间为π(0]12,，7π[,π)12．（注：或者写成增区间为π(0)12,，7π(,π)12．）【考点】三角函数的周期，单调性．17．如图，在四边形ABCD中，，，，，．第10页共15页Ⅰ求BD的长；Ⅱ求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）在中，所以，因为，所以,根据正弦定理，有，代入解得的值；（Ⅱ）在中，根据余弦定理，求得，所以．再由三角形面积公式,即可求得的面积试题解析：（Ⅰ）在中，因为，,所以．根据正弦定理，有,代入解得．（Ⅱ）在中，根据余弦定理．代入，得，所以,第11页共15页所以【考点】1．正弦定理和余弦定理；2．三角形面积．18．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．【答案】(1)y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}；（2）当x＝8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米.【解析】试题分析：（1）利用三角形的相似，可得，化简即可求得函数的解析式，根据实际意义可得函数的定义域；（2）结合（1）的结论表示出面积，考虑函数定义域的前提下，利用二次函数配方法，可得矩形面积的最大值.试题解析：（1）作PQ⊥AF于Q，所以PQ=8﹣y，EQ=x﹣4在△EDF中，，所以所以，定义域为{x|4≤x≤8}.（2）设矩形BNPM的面积为S，则所以S（x）是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10第12页共15页所以当x∈[4，8]，S（x）单调递增.所以，当x=8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米.19．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上，O为坐标原点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且l与圆的相交于不在坐标轴上的两点，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．【答案】(1)(2)【解析】（I）根据椭圆的离心率和椭圆上的一点，列方程组，求解出点的值，从而求得椭圆方程.（II）首先对斜率不存在的情况进行分析，求得两直线斜率之积.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，利用判别式为零求得参数的相互关系.联立直线方程和圆的方程，写出韦达定理，由此计算出的值，从而证明为定值.【详解】解：Ⅰ由已知得：，解得：，，，所以椭圆C的方程为：；Ⅱ当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为，易得直线，的斜率之积，当直线l的斜率存在时，设l的方程为，由方程组，得：，因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，第13页共15页所以，即，由方程组，得，设，，则，，所