钢筋混凝土破坏准则及本构关系

4.7破坏准则4.7.1破坏包络面的形状及其表达在主应力空间坐标系（σ1,σ2,σ3）中，将试验中获得的混凝土多轴强度（f1，f2，f3）的数据，逐个地标在主应力坐标空间，相邻各点以光滑曲面相连，可得混凝土的破坏包络曲面。破坏包络曲面与坐标平面的交线，即混凝土的二轴破坏包络线。σ1-fcσ2-fcσ1σ1σ2σ2ftftfttfcc坐标轴的顺序按右手螺旋法则规定αξ-σ1-σ3-σ2σ3σ1σ2+(σ1,σ2)-(σ1,σ2)在主应力空间中，与各坐标轴保持等距的各点连结成为静水压力轴（即各点应力状态均满足：σ1=σ2=σ3）。此轴必通过坐标原点，且与各坐标轴的夹角相等，均为)3/1cos(arc静水压力轴上一点与坐标原点的距离称为静水压力（ξ）；其值为3个主应力在静水压力轴上的投影之和，故：cot132133313/)(mIαξ-σ1-σ3-σ2σ3σ1σ2+(σ1,σ2)-(σ1,σ2)静水压力轴垂直于静水压力轴的平面为偏平面。3个主应力轴在偏平面上的投影各成120o角。同一偏平面上的每一点的3个主应力之和为一常数：I1为应力张量σij的第一不变量1321Iconst偏平面与破坏包络曲面的交线成为偏平面包络线。不同静水压力下的偏平面包络线构成一族封闭曲线。偏平面包络线为三折对称，有夹角60o范围内的曲线段，和直线段一起共同构成全包络线。取主应力轴正方向处为θ=0o，负方向处为θ=60o，其余各处为0oθ60o。在偏平面上，包络线上一点至静水压力轴的距离称为偏应力r。偏应力在θ=0o处最小(rt），随θ角逐渐增大，至θ=60o处为最大(rc），故rt≤rc。一些特殊应力状态的混凝土强度点，在破坏包络面上占有特定的位置。从工程观点，混凝土沿各个方向的力学性能可看作相同，即立方体试件的多轴强度只取决于应力比例σ1：σ2：σ3，而与各应力的作用方向X、Y、Z无关。例如：混凝土的单轴抗压强度fc和抗拉强度ft不论作用在哪一个方向，都有相等的强度值。在包络面各有3个点，分别位于3个坐标轴的负、正方向；同理，混凝土的二轴等压（σ1=0，f2=f3=fcc）和等拉（σ3=0，f1=f2=ftt）强度位于坐标平面内的两个坐标轴的等分线上，3个坐标面内各有一点；混凝土的三轴等拉强度（fl=f2=f3=fttt)只有一点且落在静水压力轴的正方向。对于任意应力比(fl≠f2≠f3)的三轴受压、受拉或拉／压应力状态，从工程观点考虑混凝土的各向同性，可由坐标或主应力(fl，f2，f3)值的轮换（破坏横截面三重对称），在应力空间中各画出6个点，位于同一偏平面上，且夹角θ值相等。破坏包络曲面的三维立体图既不便绘制，又不适于理解和应用，常改用拉压子午面和偏平面上的平面图形来表示。拉压子午面为静水压力轴与任一主应力轴（如图中的σ3轴）组成的平面，同时通过另两个主应力轴（σ1，σ2）的等分线。此平面与破坏包络面的交线，分别称为拉、压子午线。1、拉子午线的应力条件为σ1≥σ2=σ3，线上特征强度点有单轴受拉(ft,0,0)和二轴等压(0,-fcc,-fcc）在偏平面上的夹角为θ=0o;2、压子午线的应力条件则为σ1=σ2≥σ3，线上有单轴受压(0,0,-fc)和二轴等拉(ftt,ftt,0)，在偏平面上的夹角θ=60o。3、拉、压子午线与静水压力轴同交于一点，即三轴等拉(fttt,fttt,fttt)。拉、压子午线至静水压力轴的垂直距离即为偏应力rt和rc。θ=0oθ=60o拉压子午线的命名，并非指应力状态的拉或压，而是相应于三轴试验过程。若试件先施加静水应力σ1=σ2=σ3，后在一轴σ1上施加拉力，得σ1≥σ2=σ3，称拉子午线；若试件先施加静水应力σ1=σ2=σ3，后在另一轴σ3上施加压力，得σ1=σ2≥σ3，称压子午线。另外也可以理解为以单轴拉、压条件定义拉、压子午线，即单轴拉状态所在的子午线成为拉子午线，而单轴压状态所在的子午线成为压子午线。试验研究指出，混凝土的三维破坏面也可用三维主应力空间破坏曲面的圆柱坐标ξ，r，θ来描述，其本身也是应力不变量。θ=0oθ=60oσ1σ2oNξrσ3σ1=σ2=σ3oct3θoct3圆柱坐标系及主应力空间应力分解ξ，r，θ的几何表示σ1σ2oNP(σ1,σ2,σ3)ξrσ3eθ=60oθ=0orcrt拉子午线压子午线偏平面-σ3+σ3-(σ1,σ2)等应力轴和一个主应力轴组成的平面通过另两个主应力轴的等分线转换过程归纳偏平面σ1-σ1σ2-σ2-σ3σ3θrN静水应力偏斜应力偏斜应力平面中矢量的方向P将以上图形绕坐标原点逆时针方向旋转一角度(90o－α)，得到以静水压力轴(ξ)为横坐标、偏应力(r)为纵坐标的拉、压子午线。于是，空间的破坏包络面改为由子午面和偏平面上的包络曲线来表达。破坏面上任一点的直角坐标(fl，f2，f3)改为由圆柱坐标(ξ,r,θ)来表示，换算关系为：)6/()2(cos33/)()()(33/)(321213232221321rfffffffffrfffoctoct由上式可知，将上图的坐标缩小可以用八面体正应力（σoct）和剪应力（τoct）坐标代替静水压力和偏应力坐标，得到相应的拉、压子午线和破坏包络线。3根据试验结果绘制的拉、压子午线和偏平面包络线。子午线按照偏平面夹角划分，试验点的θ=30~60o分别列在横坐标轴的上、下。试验时测试θ=0o～60o的扇形（其他的扇形是对称的）偏平面包络线则以八面体应力值分段给出。图中曲线为混凝土破坏准则的理论值。根据国内外混凝土多轴强度的大量试验资料分析，破坏包络曲面的几何形状具有如下特征：①曲面连续、光滑、外凸；②对静水压力轴三折对称，当应力状态为静水应力与单向拉应力叠加时，θ=0o，故θ=0o的子午线称为受拉子午线。如将单向拉应力换为压应力，则相应于受压子午线，θ=60o。③破坏曲线与等应力轴ξ有关。在ξ轴的正向，静水压力轴的拉端封闭，顶点为三轴等拉应力状态；在ξ轴的负向，压端开口，不与静水压力轴相交，破坏曲线的开口随ξ轴绝对值的增大而增大；④子午线上各点的偏应力或八面体剪应力值，随静水压力或八面体正应力的代数值的减小而单调增大，但斜率渐减，有极限值；⑤偏平面上的封闭曲线三折对称，其形状随静水压力或八面体正应力值的减小，由近似三角形(rt／rc≈0.5)逐渐外凸饱满，过渡为一圆(rt／rc=1）。4.7.2破坏准则将混凝土的破坏包络曲面用数学函数加以描述，作为判定混凝土是否达到破坏状态或极限强度的条件，称为破坏准则或强度准则。虽然它不属基于机理分析、具有明确物理概念的强度理论，但它是大量试验结果的总结，具有足够的计算准确性，对实际工程有重要的指导意义。1、分类：①借用古典强度理论的观点和计算式;②以混凝土多轴强度试验资料为基础的经验回归式；③以包络曲面的几何形状特征为依据的纯数学推导式，参数值由若干特征强度值标定。各个准则的表达方式和简繁程度各异，适用范围和计算精度差别大，使用时应认真选择。2、著名的古典强度理论包括：①最大主拉应力理论（Rankine)；②最大主拉应变理论（Mariotto）；③最大剪应力理论(Tresca)；④统计平均剪应力理论（VonMises)；⑤Mohr-Coulomb理论；⑥Drucker-Prager理论。共同特点：针对某种特定材料而提出，对于解释材料破坏的内在原因和规律有明确的理论（物理）观点，有相应的试验验证，破坏包络面的几何形状简单，计算式简明，只含1个或2个参数，其值易于标定。因而，它们应用于相适应的材料时，可在工程实践中取得良好的效果。例如.VonMises准则适用于塑性材料（如软钢），在金属的塑性力学中应用最广；Mohr-Coulomb准则反映了材料抗拉和抗压强度不等（ft＜fc）的特点，适用于脆性的土壤、岩石类材料，在岩土力学中广为应用。3、以混凝土多轴强度试验资料为基础的经验回归式随试验数据的积累，许多研究人员提出了若干基于试验结果、较为准确、但数学形式复杂的混凝土破坏准则。准则中一般需要包含4～5个参数。这些破坏准则的原始表达式中采用了不同的应力量作为变量，分5种：①主应力—fl,f2,f3;②应力不变量—Il,J2,J3;③静水压力和偏应力—ξ,r,θ;④八面体应力—σoct,τoct;⑤平均应力—σm,τmθ。采用上述应力量致使准则的数学形式差别很大，不便作深入对比分析。但这些应力量借助下列基本公式可以很方便地互相变换：采用上述应力量致使准则的数学形式差别很大，不便作深人对比分析。但这些应力量借助下列基本公式可以很方便地互相变换：3oct31.52332132123213212213232221013210J22JJ33cos330262322232cos353323)()()(333或moctmoctcmoctcfffrfffJffffffrJfffffffIffff最终可统一用相对八面体强度（σ0=σoct/fc和τ0=τoct/fc）表达，经归纳得子午线方程的3种基本形式：最终可统一用相对八面体强度（σ0=σoct/fc和τ0=τoct/fc）表达，经归纳得子午线方程的3种基本形式：HGFEDCBA)]([0020002000一些常用的、有代表性的混凝土破坏准则列于下表,同时给出了原始表达式和统一表达式，可看到两者中参数的互换关系。过镇海、王传志、张秀琴等搜集了国内外大量的混凝士多轴强度试验数据，与按上述准则计算的理论值进行全面比较，根据三项标准：①计算值与试验强度的相符程度；②适用的应力范围宽窄；③理论破坏包络面几何特征的合理性等加以评定。所得结论为：较好的准则：过—王、Ottosen和Podgorski准则；一般的准则：Hsieh-Ting-Chen，Kotsovos，Willam-Warnke准则；较差准则：Bresler-Pister准则。在结构的有限元分析中，可根据结构的应力范围和准确度要求选用合理的混凝土破坏准则。4、以包络曲面的几何形状特征为依据的纯数学推导公式模式规范CEBFIPMC90C采纳了Ottosen准则。它根据偏平面包络线由三角形过渡为圆形的特点、应用薄膜比拟法：即在等边三角形边框上蒙上一薄膜，承受均匀压力后薄膜鼓起，等高线的形状由外向内的变化恰好相同．据此建立了二阶偏微分方程，求解后转换得到以应力不变量表达的破坏准则式：011222cccfIbfJfJa)]3cos(cos313cos[0cos3,30)]3cos(cos31cos[r10cos3,30211o211okkkk时即当时即当011222cccfIbfJfJa)]3cos(cos313cos[0cos3,30)]3cos(cos31cos[r10cos3,30211o211okkkk时即当时即当其中：a和b决定子午线的形状，k1和k2分别决定偏平面包络线的大小和形状。标定参数值的4个特征强度值取为：单轴抗压(-fc)、单轴抗拉(ft）、二轴等压(fcc=1.16fc)三轴抗压强度22/J,5/,60210ccffI三轴抗压强度按下式计算各特征强度的22/J,5/,60210ccffI代入值,J,21I3oct31.52332132123213212213232221013210J22JJ33cos330262322232cos353323)()()(333或moctmoctcmoctcfffrfffJffffffrJfffffffIffff011222cccfIbfJfJa)]3cos(cos313cos[0cos3,30)]3cos(cos31cos[r10cos3,30