33倒易点阵

倒易点阵是傅立叶空间中的点阵，倒易点阵的阵点告诉我们一个具有晶体点阵周期性的函数傅立叶级数中的波矢在波矢空间的分布情况，倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期性质，一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的，因此，一种晶体结构有两种类型的点阵与之对应：晶体点阵是真实空间中的点阵，量纲为[L]；倒易点阵是傅立叶空间中的点阵,量纲为[L-1]。倒易点阵如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，所以倒易点阵也是晶体结构周期性的数学抽象，只是在不同空间(波矢空间)来反映,其所以要变换到波矢空间是由于研究周期性结构中波动过程的需要。倒易点阵的本质定义：对于一个由定义的正点阵，都有一个对应的倒易点阵，其基轴满足构成倒易点阵，又称波矢空间。100010001***cbacba****clbkahrhkla·a*=b·b*=c·c*=1，a·b*=a·c*=b·c*=0，cba倒易点阵的性质)(*hklrhklhklhkldr1*性质一证明OABCabchaAO/kbBO/lcCO/hklr)(clbkahBA011)//(hakbhklrBAhklrCBhklrCA)(*hklrhkl同理可证：性质二证明性质一成立，OM垂直于ABC面，OM方向上的单位矢量为nhkldOMhklhklrrn/hklhklhklrrclbkahhanOAd1)(/hklhkldr1*OABCabcnM3、晶体几何计算公式cos.*******.1;sin..;sin..;sin..2hklhklhklhklrrlkhGlkhlkhcbacbalkhrrdVbaVcVacVbVcbVaba*ac*cb********************ccbcaccbbbabcabaaaG其形式取决于晶系晶面间距计算公式lkhGlkhlkhcbacbalkhrrdhklhkl*******.121000100011*2aG立方系：a=b=c,且相互垂直222lkhad正交系：基轴相互垂直2*2*2*000000*cbaG222222///lckbhad3、晶体几何计算公式lkhGlkhlkhcbacbalkhrrdhklhkl*******.12单斜系：==9022**2/1000/1cos0cos/1*cbababaG（二）、倒易点阵与正点阵的关系1、简单点阵d110r*110bab*a*000100010110r*110220注意：具有公因子指数的简单型正点阵的倒易阵点，如（220）等，不对应于真正的晶面。2、简单单斜点阵a*=r*100=1/d100=1/(a·cos[-90])=1/(a·sinc*=r*001=1/d001=1/(c·cos[-90])=1/(c·sinb*=r*010=1/d010=1/bacr*100r*001r*100r*001101*1803、底心点阵r*110020d110bab*a*000200110r*110对于C底心型，指数h,k和为偶数的晶面才出现；a*=r*200=1/d200=2/ab*=r*020=1/d020=2/bc*=r*001=1/d001=1/c3、底心单斜点阵：a*=r*200=1/d200=2/(a.cos[-90])=2/(a.sinc*=r*001=1/d001=1/(c.cos[-90])=1/(c.sinb*=r*002=1/d002=2/bacr*200r*001r*200r*001202************************1/2＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊1/2（二）、倒易点阵与正点阵的关系4、体心点阵对于体心型，指数和为偶数的晶面才出现；bc)200(a111bcabca(110)（二）、倒易点阵与正点阵的关系5、对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现；(200)(111)(220)（三）、倒易点阵小结1、均为无限的周期点阵，2、正点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点（除有公因子指数外）；3、晶系不变，为11种中心对称的劳厄点群；4、P-P*,C-C*,I-F*,F-I*，即对复合单胞出现倒易点阵系统消光，立方系指数表见下表h2+k2+l2（hkl）简单立方体心立方面心立方1100100211011011031111111114200200200200521021062112112118220220220220立方系指数表（续）9221,300221,30010310310310113113113111222222222222213320320143213213211640040040040017322,410322,41018330,411330,411330,4111933133133120420420420420214214212233233233224422422422422立方系指数表（续）25430,500430,50026431,501431,501431,50127333,511333,511333,51129432,520432,520305215215213244044044044033441,522441,52234433,530433,530433,5303553153153136442,600442,600442,600442,6003761061038532,611532,611532,6114062062062062041443,540,541,621443,540,62142541541435335335334462262262262245542,630542,6304663163163148444444444444Indexingofcubicreciprocallatticesabcabc000100010001200020002111cPcP*cFcI*cIcF*200020002110晶带晶带轴[uvw]与该晶带的晶面（hkl）之间存在以下关系：hu+kv+lw=0凡满足此关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带，故此关系式也称作晶带定律。所有平行或相交于同一直线的这些晶面构成一个晶带，此直线称为晶带轴。属此晶带的晶面称为晶带面（共带面）。晶带定律证明根据定义，同一个晶带中的各个晶面都和它们的晶带轴平行。所以，每个晶面的法线（n）都与晶带轴垂直。换言之。任一晶带面(hkl)的倒易矢量必定与晶带轴[uvw]的“方向矢量”相互垂直。晶带轴的方向矢量为cwbvauS任一晶带的倒易矢量为clbkahrrSrS))((clbkahcwbvauhu+kv+lw=0晶带定律的应用（1）晶面1(h1k1l1)晶面2(h2k2l2)晶带轴(uvw)111111222222::::kllhhkuvwkllhhk晶带定律的应用（2）晶向1(u1v1w1)晶向2(u2v2w2)晶面(hkl)111111222222::::vwwuuvhklvwwuuv