2015届高考数学(理科)一轮总复习课件：10-9 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(人教A版)

抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）[最新考纲展示]1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．2.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）均值1．一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的．2．若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝.3．(1)若X服从两点分布，则E(X)＝；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平aE(X)＋bpnp抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）3．(1)若X服从两点分布，则E(X)＝；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝.pnp抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）方差1．设离散型随机变量X的分布列为则描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝ni＝1(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．2．D(aX＋b)＝．3．若X服从两点分布，则D(X)＝．4．若X～B(n，p)，则D(X)＝．(xi－E(X))2平均偏离程度a2D(X)p(1－p)np(1－p)抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）____________________[通关方略]____________________随机变量的均值、方差与样本的平均值、方差的关系随机变量的均值、方差是常数，它们不依赖于样本的抽取，而样本的平均值、方差是随机变量，它们随着样本的不同而变化．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）答案：C1．已知X的分布列则在下列式子中①E(X)＝－13；②D(X)＝2327；③P(X＝0)＝13，正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：由E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确．由D(X)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，知②不正确．由分布列知③正确．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）2．(2014年芜湖一模)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2B．2－4C．3·2－10D．2－8解析：E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝12，n＝12，则P(X＝1)＝C112·12·1211＝3·2－10.答案：C抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件．若X表示取到次品的个数，则E(X)＝________.解析：X＝0时，P＝C27C210＝2145，X＝1时，P＝C17C13C210＝2145，X＝2时，P＝C23C210＝345.∴E(X)＝0×2145＋1×2145＋2×345＝35.答案：35抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）正态分布1．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线对称；(3)曲线在处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“”，表示总体的分布越．上方x＝μx＝μ瘦高矮胖分散抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）2．正态分布的三个常用数据(1)P(μ－σX≤μ＋σ)＝；(2)P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝；(3)P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝.0.68260.95440.9974抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）____________________[通关方略]____________________标准正态分布在正态分布中，若μ＝0，σ＝1，则正态分布称为标准正态分布，相应的分布密度函数为f(x)＝12πe－x22，x∈R，相应的曲线称为标准正态曲线．标准正态分布N(0,1)在正态分布的研究中占有重要的地位，因为任何正态分布的概率问题都可以转化成标准正态分布的概率问题来求解．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）4．设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a的值为()A．4B．6C．8D．10解析：依题意知P(X≤0)＝P(X≥2)∴a－2＝2，∴a＝4.答案：A抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）5．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．答案：10解析：由题意知，P(ξ110)＝1－2P90≤ξ≤1002＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）离散型随机变量的均值【例1】(2013年高考辽宁卷)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）[解析](1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P(A)＝C36C310＝16，所以P(A)＝1－P(A)＝56.(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C02·350·252·15＝4125；P(X＝1)＝C12·351·251·15＋C02·350·252·45＝28125；P(X＝2)＝C22·352·250·15＋C12·351·251·45＝57125；P(X＝3)＝C22·352·250·45＝36125.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）所以X的分布列为所以E(X)＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）解析：E(2X＋4)＝2E(X)＋4＝2×2＋4＝8.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）反思总结1．随机变量的均值(数学期望)等于该随机变量的每一个取值与取该值时对应的概率乘积的和．2．均值(数学期望)是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，均值(数学期望)是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．3．E(X)是一个实数，则X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）离散型随机变量的方差【例2】某投资公司在2012年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115.(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）[解析](1)若按“项目一”投资，设获利ξ1万元，则ξ1的分布列为∴E(ξ1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．若按“项目二”投资，设获利ξ2万元，则ξ2的分布列为：抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）∴E(ξ2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．D(ξ1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35000，D(ξ2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140000，∴E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）(2)假设n年后总资产可以翻一番，依题意：1000×1＋2001000n＝2000，即1.2n＝2，两边取对数得：n＝lg22lg2＋lg3－1＝0.30102×0.3010＋0.4771－1≈3.8053.∴大约4年后，即在2015年年底总资产可以翻一番．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）反思总结1．D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用DX来描述X的分散程度．2．随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）变式训练1．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好．试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）解析：E(X)＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，D(X)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；E(Y)＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9；D(Y)＝(8－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(10－9)2×0.4＝0.8.由此可知，E(X)＝E(Y)＝9，D(X)D(Y)，从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应选甲厂的材料．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）正态分布【例3】已知某县农民的月均收入ξ服从正态分布N(1000，402)