通信原理-随机信号分析

随机过程的一般描述平稳随机过程2.3平稳随机过程的相关函数与功率谱密度2.4高斯随机过程2.5窄带随机过程2.6正弦波加窄带高斯随机过程2.7随机过程通过线性系统第2章随机信号分析信号的时－频域基本分析方法随机变量、随机过程统计特征及重要关系自相关函数与功率谱分析白噪声与限带、窄带高斯噪声特点随机过程通过线性系统学习要点第2章随机信号分析3信号表示法周期与非周期信号周期信号f(t)满足下列条件：非周期信号没有周期性，一般多为有限持续时间的特定时间波形通信系统所指的信号一般指随时间变化的信号()()1,2,ftftnTn第2章随机信号分析4信号表示法确知和随机信号确知信号的特征是：对于指定的某一时刻，可确定一相应的参量取值。随机信号：信号的某一个或更多参量具有不确定取值。第2章随机信号分析5信号表示法能量与功率信号能量信号：能量有限的信号。功率信号：平均功率有限的信号。能量信号的总平均功率等于0。功率信号的能量趋于无限大。第2章随机信号分析6信号表示法模拟与数字信号模拟信号：连续波，主要参量的取值有无限个可能。数字信号：参量取值可数且有限。第2章随机信号分析7基带与频带信号基带信号：从信源发出的信号，未经调制。主要能量在低频段。又称为低通信号。频带信号：调制后的信号。又称为带通信号。信号表示法第2章随机信号分析8信号频谱分析概述傅里叶级数三角级数形式余弦函数形式指数级数形式傅里叶变换()()1()()2jwtjwtFwftedtftFwedw第2章随机信号分析9卷积与相关卷积12121212()()()()()()*()()()()()()*()gtfthdhtfdftftFwFwftftFwFw卷积定理调制定理第2章随机信号分析10卷积与相关相关'12121221'21212112()()()()()()()(')'()()()()()(')'()RftftdRftftdtftftdtRRftftdtftftdtR自相关函数互相关函数周期信号利用/2/21()[]TTRT第2章随机信号分析11卷积与相关卷积与相关关系12122121()()*()()()*()RffRff第2章随机信号分析12能量谱、功率谱及帕氏定理能量谱密度()(),()ftFwft若存在傅里叶变换对为能量信号，则其能量谱与其自相关函数是一对傅立叶变换，即22()|()|,|()|RFwFw是能量谱，或称能量谱密度。它表示能量信号每单位频带所持有的能量第2章随机信号分析13能量谱、功率谱及帕氏定理功率谱密度()(),()ftFwft若存在傅里叶变换对为功率信号，则其功率谱与其自相关函数是一对傅立叶变换，即2/2/22|()|1()lim()()lim()()|()|TTTTTTTFwRftftdtSwTTFwFw是信号f(t)以时段T截短后的频谱函数是其相应的能量谱第2章随机信号分析14能量谱、功率谱及帕氏定理帕氏定理(Parseval)——信号能量与功率的计算22()|()|PftdtPftdt或E=亦即或E=（1）时域（2）频域2/22/2|()|()1lim|()|TTTEFwdfPSwdfPFwdfT或第2章随机信号分析15能量谱、功率谱及帕氏定理（3）相关域0(0)()1(0)lim()|TERPRRT能量信号（随机信号）（4）帕氏定理能量谱或功率谱在其频率范围内，对频率的积分等于信号的能量或功率，并且在时域、频域积分，以及自相关函数时，三者计算结果是一致的。0第2章随机信号分析162.3随机变量的统计特征随机变量（一维、二维、多维）概率分布函数概率密度函数数字特征常用的随机变量类型均匀分布高斯分布第2章随机信号分析172.1随机过程的一般描述概念随机信号和噪声统称为随机过程。定义含有某一个参数的随机变量之和。设是一实验的样本空间。若对于每个有一时间函数与之对应，于是对于所有有一簇时间t的函数存在，则称该簇时间函数为随机过程。特点若都取定值，是一固定值若取定，t不定，是样本函数若不定，t定，是随机变量若都不定，是随机过程}{S(,)XtTttX);,(S,tS(,)Xt(,)Xt(,)Xt,t第2章随机信号分析18第2章随机信号分析19随机过程的统计特征随机过程的概率分布函数与概率密度函数一维二维多维概率密度函数是随机变量。，有时刻为随机过程，则在任一设ttt1111121212112212212112211111112212122121212(,)()(,;,)(),()(,,...,;,,...,)(),(),...,()(,)(,)(,;,)(,;,)nnnnFxtPtxFxxttPtxtxFxxxtttPtxtxtxFxtfxtxFxxttfxxttxx第2章随机信号分析20随机过程——随机过程通过概率密度函数和分布函数来表述其统计特性。设ξ(t)为一随机过程，它在任一时刻t1的取值ξ(t1)为一随机变量。其统计特性可用：■分布函数F1(x1,t1)=P{ξ(t1)x1}或■概率密度函数来描述。），（，1111111txfxtxF随机过程ξ(t)的一维概率密度函数——仅仅用时刻t1随机变量ξ(t1)的统计特性来描述随机过程。随机过程ξ(t)的一维分布函数——仅仅用时刻t1随机变量ξ(t1)的统计特性来描述随机过程。第2章随机信号分析21随机过程的n维分布——n维概率密度函数和n维分布函数:■n维分布函数Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=P{ξ(t1)x1,ξ(t2)x2,…,ξ(tn)xn}■n维概率密度函数多维分布可以更“精确”的描述随机过程的统计特性。），（，nnnnnnntttxxxfxxxtttxxxF,...,,;,...,,...,,,...,,;,...,2121212121第2章随机信号分析22随机过程的一般表述——概率密度函数和分布函数随机过程概率密度函数和分布函数举例——正态分布随机过程xx102exp2122xxfdzzdzzfxFxx]2exp[2122F(∞)=P{ξ(t)∞}=1F(x1)=P{ξ(t)x1}(阴影面积）第2章随机信号分析23随机过程概率密度函数和分布函数实用意义举例xVT0A2exp21221）（Axxf2exp21220xxf判决时钟二进制数字信号A0Pe1Pe0第2章随机信号分析24随机过程的统计特征随机过程的统计特征期望方差自协方差自相关函数2222222212112212121221212[()](,)()[()][()[()]][()][[()]][()][()](,)[()]()(,)[()()][()()](,)()()(,;,EtxfxtdxatDtEtEtEtEtEtatxfxtdxattBttEtattatRttEttxxfxxtt12)dxdx第2章随机信号分析25随机过程的统计特征结论:1数学期望和方差描述了随机过程在各个孤立时刻的特征，但没有反映随机过程不同时刻之间的内在联系。2自相关函数和自协方差函数是用来衡量同一随机过程在任意两个时刻上的随机变量的相关程度。第2章随机信号分析262.2平稳随机过程定义n维概率密度函数不随时间变化而变化，则称严平稳或窄平稳。),...,;,...,(),...,;,...,(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同，它的一维分布与t无关，二维分布只与时间间隔τ有关宽平稳（满足一维和二维平稳条件）数学期望与t无关，为常数α自相关函数只与时间间隔τ有关，τ=t2-t1第2章随机信号分析27遍历性平稳随机过程遍历性——各态历经性（它的一个实现遍历了它所有过程）定义如果一个平稳随机过程，其任何一个样本函数的时间平均等于相应的统计平均，则称为遍历性平稳随机过程。dtTETTT2/2/1lim][时间平均统计平均第2章随机信号分析28均值方差自相关函数2/2/2/2/222/2/)()(lim])([)()()(])([lim][)()(lim][)(TTTTTTTTTdttxtxRRttEdttxtDdttxtE遍历性平稳随机过程第2章随机信号分析29遍历性平稳随机过程0()cos(),Xtt习题：设是在(-,)均匀分布的随机变量。证明它是广义平稳的，同时又是遍历的。广义平稳均值为常数自相关函数与时间起止无关，而与时间间隔有关遍历平稳时间均值时间自相关函数第2章随机信号分析302.3平稳随机过程的相关函数性质设§(t)为宽平稳随机过程§(t)的平均功率§(t)的直流功率§(t)的交流功率自相关函数是偶函数自相关函数是双边非增函数自相关、自协方差和均值之间的关系2)0(RR)()(2tER)()0(2tERRR)0(RR)(2)()(aBR第2章随机信号分析31平稳随机过程的功率谱自相关函数与功率谱的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱是一对傅里叶变换。()RPw功率谱的性质非负性实偶性平均功率=R(0)具有微分特性'2'()()dtPwwPwtdt第2章随机信号分析32平稳随机过程习题：总功率是平稳随机过程。并求证明：程。含随机变量，是随机过均匀分布的随机变量。wPtttwt2,0)sin()(0第2章随机信号分析332.4高斯过程高斯过程又称正态随机过程，它是一种普遍存在和重要的随机过程。在通信信道中的噪声，通常是一种告诉过程，故又称为高斯噪声。高斯过程的n维概率密度函数用下式表示:第2章随机信号分析34第2章随机信号分析35高斯随机过程的一维正态分布高斯随机过程的一维正态分布若随机变量的概率密度函数为:则称为服从正态分布的随机变量。其中:为数学期望，为方差，第2章随机信号分析36一维分布——概率密度函数f(x)对称于直线x=αf(x)在(-∞，α)单调升,在(α，∞)单调降,在x=α处取最大值,当x→±∞时，f(x)→0.x0α2exp2122）（xxf21f(x)曲线下面积：在x=α左右侧各1/2。1)(dxxf对于不同α值，表现为f(x)曲线左右平移；对于不同σ值，f(x)曲线图形随σ的减小而变高和变窄，曲线下面积不变。1)(dxxf高斯随机过程的一维正态分布第2章随机信号分析37高斯随机过程的一维正态分布第2章随机信号分析38正态分布第2章随机信号分析39zx0α2exp2122）（zzfdzzdzzdzzxFxx]2)(exp[2121]2)(exp[21]2)(exp[21222222Whenx≥α(2.5-12)dzzdzzdzzxFxx]2)(exp[211]2)(exp[21]2)(exp[21222222