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点堆动力学方程的数值解法61()()()()()()()1,2,...,6iiiiiiidnttntCtdtdCtntCtidt一、点堆动力学方程满足的初值条件为:000t=0(),()=,1,2,...,6iitntnCtCi二、三性与点堆动力学方程的刚性差分格式与原微分方程的相容性利用差分格式求解的收敛性差分格式的稳定性微分方程数值解法的核心是用差分代替微分。二、三性与点堆动力学方程的刚性1、相容性(,)'(,())dyftyyftytdt为'(,())(0)yftyty记常微分方程常微分方程的初值问题(1)二、三性与点堆动力学方程的刚性1、相容性10(,;)(2)nnnnyytytty更一般的差分格式可以写成:如果00()()limlim(,();)ttyttyttyttt则称差分格式(2)与微分方程(1)是相容的。二、三性与点堆动力学方程的刚性1、相容性(,;0)(,)tyfxy因此,所谓相容性就是:当步长无穷小时,差分格式等价于微分方程。相容的条件就是:二、三性与点堆动力学方程的刚性2、收敛性'(0)(0)1yyytye此方程的解析解是二、三性与点堆动力学方程的刚性2、收敛性00100()(1)(1)(1)(1)tntnttttntntytytyytyty设步长是均匀的===1000limlim(1)tttnttytye==方程收敛二、三性与点堆动力学方程的刚性3、稳定性计算误差如果在运算过程中是逐渐缩小的,那么这种方法就叫做稳定的;如果这些误差在运算过程中是逐渐放大的,则称为不稳定的。所谓稳定性问题,就是误差的积累是否能得到控制的问题。二、三性与点堆动力学方程的刚性4、刚性(stiff)微分方程123()[,,]TdtAdtyyyyyy0.1-49.900-500070-120A(0)[2,1,2]Ty二、三性与点堆动力学方程的刚性4、刚性(stiff)微分方程0.1501502501203()()()tttttyteeyteytee113120,50,0.1此方程组的解析解是:是矩阵A的三个特征值。最大特征值(-120)与最小特征值(-0.1)之比很大,被称为刚性(stiff)方程或坏条件方程。二、三性与点堆动力学方程的刚性4、刚性(stiff)微分方程1()()()()()()()1,2,...,IiiiiiiidnttntCtdtdCtntCtiIdtii=1,2,...,7点堆动力学方程是典型的刚性方程,因为7个特征根的数值相差很大(WHY?)。二、三性与点堆动力学方程的刚性4、刚性(stiff)微分方程00100100111y()()y()()()[(),()()][,]F(t)(1)(1)()/00()/0tTTIIIIIdtFttdtytyytntCtCtynCCIItFt其中,及是列向量,表示如下矩阵:二、三性与点堆动力学方程的刚性4、刚性(stiff)微分方程ii()0FtE11/()/()IIiiiiiii如果是这个矩阵的特征值,那么就是特征方程由此可推出:的根。二、三性与点堆动力学方程的刚性4、刚性(stiff)微分方程二、三性与点堆动力学方程的刚性4、刚性(stiff)微分方程1I如果111221IIIl该方程的根全部是实数,并满足61()()()()(11)()()()1,2,...,6iiiiiiidnttntCtdtdCtntCtidt三、点堆动力学方程的数值解法满足的初值条件为:000t=0(),()=,1,2,...,6iitntnCtCi三、点堆动力学方程的数值解法(1)后退欧拉方法2、点堆动力学方程的数值解法61(1)()(1)(1)(1)(1,)(,)()(1)()(1,)(3-6)()()(,)1,2,...,60,1,2,jniniinifitCijCijjnijCijtfijCijji三、点堆动力学方程的数值解法61((1))(1)(()(1))/(1)()(1)(1,)((,))/(1())()()(,)(37)()(0)(0,)()1,2,...,60,1,2,jtininitfitjniCijCijtjfijCijjnCjjji三、点堆动力学方程的数值解法(2)梯形公式法61(1)()()(1)()()(1)(1)/2(1,)(,)()(1)()(1,)(,)()22()()(,)(3-8)1,2,...,60,1,2,jniniiinifinifitCijCijjniniCijCijjtfijCijji三、点堆动力学方程的数值解法61()(1)(2((1)))()(1)2((1))()(()(1))(2())(,)(1,)2()()()(,)(3-9)()(0)(0,)()1,2,...,60,1,2,jtfitfitininititjninitjCijCijtjfijCijjnCjjji61()()()()(1)()()()1,2,...,6iiiiiiidnttntCtdtdCtntCtidt三、点堆动力学方程的数值解法满足的初值条件为:000t=0(),()=,1,2,...,6iitntnCtCi三、点堆动力学方程的数值解法3、厄密特多项式方法将点堆方程简记为()()iiiiiiidnnCdtdbtatCnCdt(2)三、点堆动力学方程的数值解法3、厄密特多项式方法将时间离散化,并以h=t2-t1表示从t1到t2的时间步长,在这步长的两端,记1122112211221122(),()(),()(),()(),()iiiiiiiinntnntCCtCCtaataatbbtbbt(3)三、点堆动力学方程的数值解法3、厄密特多项式方法1111222211112222,,iiiiiiiiiiiiiipanCpanCqbnCqbnC())intCt和(进一步,记它们分别是在步长h两端的导数值(4)三、点堆动力学方程的数值解法3、厄密特多项式方法11,tttthh即1()()()1()()()iiiiiiidnanChddCbnChdt为方便起见,作变量代换于是t的时间间隔(t1,t2)就变化为关于τ的时间间隔(0,1),故点堆方程可写成(5)三、点堆动力学方程的数值解法3、厄密特多项式方法(6)()()0,13inC设和在区间()上可以用阶厄密特插值多项式表示:231234231234()()iiiiinmmmmCdddd所谓厄密特插值,就是要求在插值区间两端,该多项式的函数值与导数值与被插值的函数值和导数值相等。三、点堆动力学方程的数值解法3、厄密特多项式方法(8)11213212142121(2)3()()2()mnmhpmhppnnmhppnn11213212142121(2)3()()2()iiiiiiiiiiiiiidCdhqdhqqCCdhqqCC可以推出:(7)三、点堆动力学方程的数值解法3、厄密特多项式方法(9)把(6)代入(5),并对τ在(0,1)区间上积分,得到112323211234123400112323211234123400()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiinnhammmmdhdddddCChbmmmmdhddddd三、点堆动力学方程的数值解法3、厄密特多项式方法2i2,Cn22222iiiiiiiikikikiRnCnGCRUCFV将作为未知量对积分后的式子进行整理,得到:(10)三、点堆动力学方程的数值解法3、厄密特多项式方法12345611111112222222333333344444445555555666666RRUVVVVVRVUVVVVRVVUVVVRVVVUVVRVVVVUVRVVVVV6U2112222332442552662nCCCCCC123456FGGGGGG=(11)三、点堆动力学方程的数值解法3、厄密特多项式方法223232230231112311223223232301()(32)121()()21211(32)(2)+()2121[()](32)12()111()212(iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihRahAAAAbhhAAhhFAAAnhpAAACqhRhaBBbBBVhBBUhBBhhGB23111231111132)(2)()122iiiiiiiiiiBBnhpBBBhqCh三、点堆动力学方程的数值解法3、厄密特多项式方法110110()()1,2,3,41,2,3,4,5,6kkkikiAadBbdki(),()23()kaaA()-=可能是的复杂函数可以将用一个阶或阶的多项式例如厄密特多项式来表示,该多项式的系数可以事先算出,因而很容易计算。其中
本文标题:点堆动力学方程的数值解法
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