【成才之路】3.3.2均匀随机数的产生

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修3第三章概率成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3概率第三章第三章概率成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修33.3几何概型第三章3.3.2均匀随机数的产生第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3高效课堂2课时作业4优效预习1当堂检测3第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3优效预习第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3[答案]C●知识衔接1.如右图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为()A.12B.32C.13D.14第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3[答案]A2.如右图所示，在地面上放置着一个塑料圆盘，吉克将一粒玻璃球丢在该圆盘中，则玻璃球落在A区域内的概率是()A.12B.18C.14D．1第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3[解析]玻璃球丢落在该圆盘内，玻璃球落在各个区域内是随机的，也是等可能的，并且落在该圆盘内的任何位置是等可能的，因此该问题是几何概型．由于A区域占整个圆形区域面积的48，所以玻璃球落入A区域的概率为12.第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修31．均匀随机数(1)定义如果试验的结果是区间[a，b]上的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数．●自主预习第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3(2)特征①随机数是在一定范围内产生的；②在这个范围内的每一个数被取到的可能性________．(3)产生方法：方法一，利用几何概型产生；方法二，用转盘产生；方法三，用________或________产生．(4)应用：利用均匀随机数可以进行随机模拟试验估计____________的概率．相等计算器计算机几何概型第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修32．[0,1]上均匀随机数的产生(1)利用计算器产生0～1之间的均匀随机数(2)利用计算机产生Excel中用“rand()”函数来产生[0,1]区间上的均匀随机数，每调用一次“rand()”函数，就产生一个随机数．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修33．[a，b]上均匀随机数的产生(1)计算器不能直接产生区间[a，b]上的均匀随机数，只能利用线性变换产生．如果x是区间[0,1]上的均匀随机数，则a＋(b－a)x就是[a，b]上的均匀随机数；(2)利用计算机Excel中的随机函数“rand()*(b－a)＋a”得到．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修31．下列关于随机数的说法：①计算器只能产生(0,1)之间的随机数；②计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数；③计算器只能产生均匀随机数；④我们通过命令rand()*(b－a)＋a来得到两个整数值之间的随机数．其中正确的是________．[答案]④●预习自测第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3[解析]题号判断原因分析①×计算器可以产生[0,1]上的均匀随机数和[a，b]上的整数值随机数等②×计算器不可以产生[a，b]上的均匀随机数，只能通过线性变换得到③×计算器可以产生整数值随机数④√显然正确第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3[规律总结]随机数的产生还可以通过人工操作．例如：抽签、摸球、转盘等方面，但这样做费时费力，用计算机可产生大量的随机数，又可以自动统计试验结果，同时可以在短时间内多次重复试验，方便快捷．因此，我们现在主要是通过计算器或计算机来产生随机数．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修32．下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是()A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果B．旋转的次数越多，估计的结果越精确C．旋转时可以按规律旋转D．转盘的半径越大，估计的结果越精确[答案]C第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修33．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需实施的变换为()A．a＝a1*8B.a＝a1*8+2C.a＝a1*8-2D.a＝a1*6[答案]C[解析]将0～1之间的随机数转化为a～b之间的随机数需进行的变化为a＝a1*(b-a)+a.第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修34．用计算器产生一个区间[10,20]内的随机数a(a∈R)，则这个实数a14的概率为()A.25B.35C.15D.12[答案]A[解析]因为区间[10,20]内有无数个实数，且取任一实数概率是相等的，符合几何概型的条件．又a14，从而区间长度为4，故所求的概率为410＝25.第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3高效课堂第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1m的概率．[探究]在任意位置剪断绳子，则剪断位置到某一端点的距离取遍[0,3]内的任意数，并且取到每一个实数都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3]上的均匀随机数，其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内，也就是剪得两段的长都不小于1m．这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内的随机数个数之比就是事件发生的频率．用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率●互动探究第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3[解析]解法1：设“剪得两段长都不小于1m”为事件A.(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]的均匀随机数a1＝RAND.(2)经过伸缩变换，a＝3a1.(3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机数的个数N.第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3(4)计算频率fn(A)＝N1N即为概率P(A)的近似值．解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0,3](这里3和0重合)．转动圆盘记下指针指在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N1及试验总次数N，则fn(A)＝N1N即为概率P(A)的近似值．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3[规律总结]用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的步骤：(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND；(2)经过伸缩变换y＝(b－a)x＋a，得到一组[a，b]上的均匀随机数；(3)统计出试验总次数N和满足所求概率事件的随机数个数N1；(4)计算频率fn(A)＝N1N，即为所求概率的近似值．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3[特别提醒]用随机模拟的方法估计事件的概率，首先要确定所求的几何概型与哪个量有关系，然后产生相应的随机数，并严格按照实验步骤进行．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3(1)将区间[0,1]内的均匀随机数x1转化为区间[－2,2]内的均匀随机数x，需要实施的变换为()A．x＝x1×2B．x＝x1×4C．x＝x1×2＋2D．x＝x1×4－2(2)取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2m的概率有多大？第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3[探究]1.如果试验的基本事件构成的总区域为[a，b]，如何产生[a，b]上的随机数，进行模拟试验？2．用模拟方法对长度型几何概型进行概率估计的步骤是什么？[解析](1)因为x1∈[0,1]，所以0≤4x1≤4，－2≤4x1－2≤2，所以x＝x1×4－2满足题意．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3(2)设剪得两段的长都不小于2m为事件A.方法一：①利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x＝RAND.②作伸缩变换：y＝x*(5－0)，转化为[0,5]上的均匀随机数．③统计出[2,3]内均匀随机数的个数m.④则概率P(A)的近似值为mn.第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3方法二：①做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度[0,5](这里5和0重合)．②固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2,3]内(表示剪断绳子位置在[2,3]范围内)的次数m及试验总次数n.③则概率P(A)的近似值为mn.第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3解放军某部进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16m，宽为14m的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为1m、2m、5m．若着陆点在圆环B内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意跳下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率，用随机模拟方法估计面积型几何概型的概率第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3[探究]本题为面积型几何概型，所求的概率为面积之比，若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置．[解析]设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND,b1＝RAND.(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8,6＝14b1－7，得到[－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3(3)统计满足－8a8，－7b7的点(a，b)的个数N.满足1a2＋b24的点(a，b)的个数N1.(4)计算频率fn(A)＝N1N即为所求概率的近似值．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3[规律总结]用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的区别与联系：(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数；(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的两个坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3在本例中，如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为不合格的概率．[探究]可用点的个数比来求概率，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，故可产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置．第三章3.33.3.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修3[解析]设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩不合格”．(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数．(3)统计满足－8a8，－7b7的点(a，b)的个数N.满足a2＋b225的点(a，b)的个数N1.