【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表

第五章平面向量§5.2平面向量基本定理及坐标表示内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习1.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内两个的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，一对实数λ1、λ2，使a＝.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.(λx1，λy1)x21＋y21不共线有且只有λ1e1＋λ2e2基底(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)知识梳理1答案(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝，|AB→|＝.(x2－x1，y2－y1)x2－x12＋y2－y123.平面向量共线的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.x1y2－x2y1＝0答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.()√(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.()×√×(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.()√思考辨析答案1.设e1，e2是平面内一组基底，那么下列说法正确的是________(填序号).①若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0；②空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)；③对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内；④对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对.①考点自测2答案123452.在△ABC中，点D在BC边上，且CD→＝2DB→，CD→＝rAB→＋sAC→，则r＋s＝________.解析因为CD→＝2DB→，所以CD→＝23CB→＝23(AB→－AC→)＝23AB→－23AC→，则r＋s＝23＋－23＝0.0解析答案123453.在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则向量BD→的坐标为__________.解析∵AB→＋BC→＝AC→，∴BC→＝AC→－AB→＝(－1，－1)，∴BD→＝AD→－AB→＝BC→－AB→＝(－3，－5).(－3，－5)解析答案123454.设0＜θ＜π2，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.解析∵a∥b，∴sin2θ×1－cos2θ＝0，∴2sinθcosθ－cos2θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cosθ＞0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝12.12解析答案123455.已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________.解析设D(x，y)，则由AB→＝DC→，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即4＝5－x，1＝6－y，解得x＝1，y＝5.(1,5)解析答案返回12345题型分类深度剖析例1(1)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ＝________.解析因为AB→＝AN→＋NB→＝AN→＋CN→＝AN→＋(CA→＋AN→)＝2AN→＋CM→＋MA→＝2AN→－14AB→－AM→，所以AB→＝85AN→－45AM→，所以λ＋μ＝45.45题型一平面向量基本定理的应用解析答案(2)如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________.解析设BP→＝kBN→，k∈R.因为AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋kBN→＝AB→＋k(AN→－AB→)＝AB→＋k(14AC→－AB→)＝(1－k)AB→＋k4AC→，且AP→＝mAB→＋211AC→，所以1－k＝m，k4＝211，解得k＝811，m＝311.311解析答案思维升华(1)在平行四边形ABCD中，AB→＝e1，AC→＝e2，NC→＝14AC→，BM→＝12MC→，则MN→＝_______________.(用e1，e2表示)解析如图，MN→＝CN→－CM→＝CN→＋2BM→＝CN→＋23BC→＝－14AC→＋23(AC→－AB→)＝－14e2＋23(e2－e1)＝－23e1＋512e2.－23e1＋512e2跟踪训练1解析答案(2)如图，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM→＝xAB→，AN→＝yAC→，则xyx＋y的值为________.解析易知AG→＝13AB→＋13AC→，MN→＝－xAB→＋yAC→，故MG→＝13－xAB→＋13AC→.由于MG→与MN→共线，所以13－xy＝－13x，即xy＝13(x＋y)，因此xyx＋y＝13.13解析答案例2(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝_______________.解析由已知3c＝－a＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4).所以c＝－133，－43.－133，－43题型二平面向量的坐标运算解析答案(2)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为__________.解析AB→＝OB→－OA→＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与AB→同方向的单位向量为AB→|AB→|＝35，－45.35，－45解析答案思维升华(1)已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若AB→＝3a，则点B的坐标为__________.解析设点B的坐标为(x，y)，则AB→＝(x＋1，y－5).由AB→＝3a，得x＋1＝6，y－5＝9，解得x＝5，y＝14.(5,14)跟踪训练2解析答案(2)在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点，若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC→＝________.解析BC→＝3PC→＝3(2PQ→－PA→)＝6PQ→－3PA→＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21).(－6,21)解析答案命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3(1)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝____________.解析由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，即m＝－4.从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).(－4，－8)题型三向量共线的坐标表示解析答案(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________.解析∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，∴DC→＝2AB→.设点D的坐标为(x，y)，则DC→＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，AB→＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴4－x＝2，2－y＝－2，解得x＝2，y＝4，故点D的坐标为(2,4).(2,4)解析答案命题点2利用向量共线求参数例4若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________.解析AB→＝(a－1,3)，AC→＝(－3,4)，根据题意AB→∥AC→，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－54.－54解析答案命题点3求交点坐标例5已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.解析答案思维升华设OA→＝(－2,4)，OB→＝(－a,2)，OC→＝(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则1a＋1b的最小值为________.解析由题意得AB→＝(－a＋2，－2)，AC→＝(b＋2，－4)，又AB→∥AC→，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，即－a＋2＝λb＋2，－2＝－4λ，整理得2a＋b＝2，所以1a＋1b＝12(2a＋b)(1a＋1b)＝12(3＋2ab＋ba)跟踪训练3≥12(3＋22ab·ba)＝3＋222(当且仅当b＝2a时，等号成立).3＋222解析答案返回思想与方法系列典例(14分)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为2π3.如图所示，点C在以O为圆心的AB上运动.若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，求x＋y的最大值.思想与方法系列11.解析法(坐标法)在向量中的应用温馨提醒解析答案思维点拨返回思想方法感悟提高1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.2.根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值.方法与技巧1.要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.失误与防范返回练出高分12345678910111213141.如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：15①AD→与AB→；②DA→与BC→；③CA→与DC→；④OD→与OB→.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________.解析①中AD→，AB→不共线；③中CA→，DC→不共线.①③解析答案2.已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝________.解析12a＝(12，12)，32b＝(32，－32)，故12a－32b＝(－1,2).(－1,2)解析答案1234567891011121314153.已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝________.解析设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴λ＝12，μ＝－32，∴c＝12a－32b.12a－32b解析答案1234567891011121314154.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4).若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝________.且(a＋λb)∥c，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12.解析∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，12解析答案1234567891011121314155.已知|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，点C在∠AOB内，且OC→与OA→的夹角为30°，设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则mn的值为________.解析∵OA→·OB→＝0,∴OA→⊥OB→，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，OA→＝(1,0)，OB→＝(0，3)，OC→＝mOA→＋nOB→＝(m，3n).∵tan30°＝3nm＝33，∴m＝3n，即mn＝3.3解析答案1234567891011121314156.已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝12ax与线段AB交于点C，且AC→＝2CB→，则实数a＝________.解析设C(x，y)，则AC→＝(x－7，y－1)，CB→＝