高三一轮总复习理科数学新课标第10章-第6节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第六节几何概型考纲传真1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2.几何概型的两个基本特点1)无限性：在一次试验中可能出现的结果；2)等可能性：每个试验结果的发生具有.3.几何概型的概率公式PA)＝构成事件A的区域长度面积或体积.长度面积或体积)有无限多个等可能性试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1.固基升华)判断下列结论的正误.正确的打“√”，错误的打“×”)1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率)2)概率为0的事件一定是不可能事件)3)古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的)4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形)【答案】1)√2)×3)√4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2.人教A版教材习题改编)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是)A.35B.45C.25D.15【解析】试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P＝25.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）图10－6－13.如图10－6－1所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为)A.43B.83C.23D.无法计算菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】设阴影区域的面积为S，则由题意知S4＝23，可得S＝83.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4.设不等式组0≤x≤2，≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是)A.π4B.π－22C.π6D.4－π4【解析】如图所示，区域D为正方形OABC及其内部，且区域D的面积S＝4.又阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积S阴＝4－π，∴所求事件的概率P＝4－π4.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5.2013·福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－10”发生的概率为________.【解析】已知0≤a≤1，事件“3a－10”发生时，0a13，取区间长度为测度，由几何概型得其概率为P＝13.【答案】13菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1与长度有关的几何概型【例1】在区间[－1,1]上随机取一个数x，cosπx2的值介于0到12之间的概率为)A.13B.2πC.12D.23【思路点拨】先判断π2x的范围，然后根据y＝cosx的图象寻找π2x满足的条件，从而确定使cosπ2x的值介于0到12的x的取值范围.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】在区间[－1,1]上随机取一个数x，试验的全部结果构成的区域长度为2；又－1≤x≤1，∴－π2≤π2x≤π2.由0≤cosπ2x≤12，得π3≤π2x≤π2或－π2≤π2x≤－π3，∴23≤x≤1或－1≤x≤－23.设事件A为cosπ2x的值介于0到12之间.则事件A发生的区域长度为23，∴PA)＝13.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.解答本题的关键是确定x的取值范围，这需要用到三角函数的奇偶性与单调性.2.求与长度角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何概型转化为长度角度)，然后求解.确定点的边界位置是解题的关键.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”.如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长此时F为OE中点).弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF.由几何概型公式得：PA)＝12×22＝12.【答案】12菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2与面积有关的几何概型【例2】设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.【思路点拨】1)为古典概型，利用列举法求概率.2)建立a－b平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”.当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.1)基本事件共有12个：0,0)，0,1)，0,2)，1,0)，1,1)，1,2)，2,0)，2,1)，2,2)，3,0)，3,1)，3,2).其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本事件.事件A发生的概率为PA)＝912＝34.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2)试验的全部结果所构成的区域为{a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}.所以所求的概率为PA)＝3×2－12×223×2＝23.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.解题时要分析是利用古典概型求概率，还是几何概型求概率.2.求解与面积有关的几何概型，首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率，这类问题常与线性规划、定积分知识联系在一起.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2如图10－6－2所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为)A.14B.15C.16D.17图10－6－2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】∵S阴影＝01x－x)dx＝23x32－12x210＝23－12＝16，又S正方形OABC＝1，∴由几何概型知，P恰好取自阴影部分的概率为161＝16.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3与体积有关的几何概型【例3】在区间[0,1]上任取三个数a，b，c若向量m＝a，b，c)，求|m|≥1的概率.【思路点拨】由于a，b，c∈[0,1]，则点a，b，c)构成单位正方体区域，从而可借助几何概型求解.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】∵a，b，c∈[0,1]，则基本事件空间Ω＝{a，b，c)|0≤a≤1,0≤b≤1,0≤c≤1}构成的区域为单位正方体其中原点O为一个顶点).设“|m|≥1”为事件A，则A表示“|m|＜1”.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）即a2＋b2＋c2＜1，这样的点a，b，c)位于单位正方体内，且在以原点为球心，以1为半径的球内，其体积V′＝18×43π×13＝π6.又V正方体＝1，∴PA)＝V′V正方体＝π6，因此P|m|≥1)＝PA)＝1－PA)＝1－π6.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法31.本题中点a，b，c)的分布是空间区域，故应采用体积表示区域的测度.常见的错误：①错用面积比作为概率；②事件A发生时，求错空间区域体积球体的一部分).2.求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练3一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行.若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为)A.18B.116C.127D.38【解析】由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）一个区别古典概型与几何概型的区别在于：前者的基本事件的个数有限，后者的基本事件的个数无限.一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积等常见的几何概型的求解方法.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）两种类型1.线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时的概型.2.面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）从近两年看，几何概型命题以选择题、填空题为主；以考查基本概念为主，兼顾基本运算能力，注重知识交汇渗透和情境创新是命题的方向.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）思想方法之二十六转化与化归思想在概率中的应用2013·四川高考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是)A.14B.12C.34D.78菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x，y，则0≤x≤4,0≤y≤4，而事件A“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”，即|x－y|≤2，可行域如图阴影部分所示.由几何概