2015-2017解析几何全国卷高考真题

2015-2017解析几何全国卷高考真题1、（2015年1卷5题）已知M（00,xy）是双曲线C：2212xy上的一点，12,FF是C上的两个焦点，若120MFMF，则0y的取值范围是（）（A）（-33，33）（B）（-36，36）（C）（223，223）（D）（233，233）【答案】A【解析】由题知12(3,0),(3,0)FF，220012xy，所以12MFMF=0000(3,)(3,)xyxy=2220003310xyy，解得03333y，故选A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.2、（2015年1卷14题）一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.【答案】22325()24xy【解析】设圆心为（a，0），则半径为4a，则222(4)2aa，解得32a，故圆的方程为22325()24xy.考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程3、（2015年1卷20题）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=24x与直线ykxa（a＞0）交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.【答案】（Ⅰ）0axya或0axya（Ⅱ）存在【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将ykxa代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用a表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出,ab关系，从而找出适合条件的P点坐标.试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)Maa，(22,)Na，或(22,)Ma，(2,)Naa.∵12yx，故24xy在x=22a处的到数值为a，C在(22,)aa处的切线方程为(2)yaaxa，即0axya.故24xy在x=-22a处的到数值为-a，C在(22,)aa处的切线方程为(2)yaaxa，即0axya.故所求切线方程为0axya或0axya.（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为复合题意得点，11(,)Mxy，22(,)Nxy，直线PM，PN的斜率分别为12,kk.将ykxa代入C得方程整理得2440xkxa.∴12124,4xxkxxa.∴121212ybybkkxx=1212122()()kxxabxxxx=()kaba.当ba时，有12kk=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以(0,)Pa符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力4、（2015年2卷7题）过三点(1,3)A，(4,2)B，(1,7)C的圆交y轴于M，N两点，则||MN（）A．26B．8C．46D．10【解析】由已知得321143ABk，27341CBk，所以1ABCBkk，所以ABCB，即ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25xy，令0x，得262y，所以46MN，故选C．考点：圆的方程．5、（2015年2卷11题）．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A．5B．2C．3D．2【解析】设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，如图所示，ABBM，0120ABM，过点M作MNx轴，垂足为N，在RtBMN中，BNa，3MNa，故点M的坐标为(2,3)Maa，代入双曲线方程得2222abac，即222ca，所以2e，故选D．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．6、（2015年2卷20题）（本题满分12分）已知椭圆222:9(0)Cxymm,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．【解析】（Ⅰ）设直线:lykxb(0,0)kb，11(,)Axy，22(,)Bxy，(,)MMMxy．将ykxb代入2229xym得2222(9)20kxkbxbm，故12229Mxxkbxk，299MMbykxbk．于是直线OM的斜率9MOMMykxk，即9OMkk．所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形．因为直线l过点(,)3mm，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是0k，3k．由（Ⅰ）得OM的方程为9yxk．设点P的横坐标为Px．由2229,9,yxkxym得2222981Pkmxk，即239Pkmxk．将点(,)3mm的坐标代入直线l的方程得(3)3mkb，因此2(3)3(9)Mmkkxk．四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即2PMxx．于是239kmk2(3)23(9)mkkk．解得147k，247k．因为0,3iikk，1i，2，所以当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为平行四边形．考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．7、（2016年1卷5题）（5）已知方程222213xymnmn表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是（A）1,3（B）1,3（C）0,3（D）0,3【答案】A考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c不是c,这一点易出错.8、（2016年1卷10题）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.9、（2016年1卷20题）（本小题满分12分）设圆222150xyx的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明EAEB为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）13422yx（0y）（II）)38,12[试题解析：（Ⅰ）因为||||ACAD,ACEB//,故ADCACDEBD,所以||||EDEB,故||||||||||ADEDEAEBEA.又圆A的标准方程为16)1(22yx,从而4||AD,所以4||||EBEA.由题设得)0,1(A,)0,1(B,2||AB,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：13422yx（0y）.（Ⅱ）当l与x轴不垂直时,设l的方程为)0)(1(kxky,),(11yxM,),(22yxN.由134)1(22yxxky得01248)34(2222kxkxk.则3482221kkxx,341242221kkxx.所以34)1(12||1||22212kkxxkMN.过点)0,1(B且与l垂直的直线m：)1(1xky,A到m的距离为122k,所以1344)12(42||22222kkkPQ.故四边形MPNQ的面积341112||||212kPQMNS.可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为)38,12[.当l与x轴垂直时,其方程为1x,3||MN,8||PQ,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为)38,12[.考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.10、（2016年2卷4题）圆2228130xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，则a=（A）43（B）34（C）3（D）2【解析】A圆化为标准方程为：，故圆心为，，解得，故选A．11、（2016年2卷11题）已知1F，2F是双曲线E：22221xyab的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，sin2113MFF,则E的离心率为(A)2（B）32（C）3（D）2【解析】A离心率，由正弦定理得．12、（2016年2卷20题）（本小题满分12分）已知椭圆E:2213xyt的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为(0)kk的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.（I）当4t，AMAN时，求△AMN的面积；（II）当2AMAN时，求k的取值范围.2228130xyxy22144xy14，24111ada43a1221FFeMFMF12211222sin321sinsin13FFMeMFMFFF【解析】⑴当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，则直线AM的方程为．联立并整理得，解得或，则因为，所以因为，，所以，整理得，无实根，所以．所以的面积为．⑵直线AM的方程为，联立并整理得，解得或，所以所以因为所以，整理得，．4t22143xy20，2ykx221432xyykx2222341616120kxkxk2x228634kxk2222286121213434kAMkkkkAMAN2221121211413341ANkkkkkAMAN0k2221212114343kkkkk21440kkk2440kk1kAMN△22111214411223449AMykxt2213xytykxt222223230tkxttkxtktxt2233ttktxtk22222361133ttkttAMktktktk2613tANktkk2AMAN2226621133ttkkttkkk23632kktk因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得解得．13、（2016年3卷11题）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，,AB分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,ac的值，进而求得e的值；（2）建立,,abc的齐次等式，求得ba或转化为关于e的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e．14、（2016年3卷16题）已知直线l：330mxym与