【步步高】2015届高考数学总复习 第八章 8.3平行关系课件 理 北师大版

数学北（理）第八章立体几何§8.3平行关系基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．直线与平面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件结论a∥αb∥αa∩α＝∅aα，bα，a∥ba∥αa∥α，aβ，α∩β＝ba∩α＝∅a∥b基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理2．面面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件α∥β，aβ结论α∥βα∥βa∥ba∥αα∩β＝∅aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b题号答案解析12345B基础知识·自主学习C2(1)×(2)√(3)×(5)√(6)×夯实基础突破疑难夯基释疑②题型一直线与平面平行的判定与性质【例1】(2012·山东)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例1】(2012·山东)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.思维升华解析思维启迪(1)利用等腰△EDB底边中线和高重合的性质证明；题型分类·深度剖析(2)根据线面平行的判定或两个平面平行的性质证明线面平行．题型一直线与平面平行的判定与性质【例1】(2012·山东)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析证明(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.题型一直线与平面平行的判定与性质【例1】(2012·山东)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.题型分类·深度剖析(2)方法一如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.题型一直线与平面平行的判定与性质思维启迪思维升华解析【例1】(2012·山东)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.题型分类·深度剖析又DN平面BEC,BC平面BEC，题型一直线与平面平行的判定与性质所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.又DM平面DMN，思维启迪思维升华解析所以DM∥平面BEC.方法二如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.【例1】(2012·山东)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.题型分类·深度剖析因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因为∠AFB＝30°，所以AB＝12AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.题型一直线与平面平行的判定与性质又DM平面BEC，EF平面BEC，所以DM∥平面BEC.思维启迪思维升华解析【例1】(2012·山东)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.思维启迪思维升华解析判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a∥α⇒a∥β)．题型分类·深度剖析题型一直线与平面平行的判定与性质跟踪训练1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.证明因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，题型分类·深度剖析EH平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG平面ADD1A1，A1D1平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.题型二平面与平面平行的判定与性质【例2】如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例2】如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.思维升华解析思维启迪要证四点共面，只需证GH∥BC；要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行．题型分类·深度剖析题型二平面与平面平行的判定与性质【例2】如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.思维启迪思维升华解析证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.题型分类·深度剖析又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，题型二平面与平面平行的判定与性质【例2】如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.题型分类·深度剖析∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.题型二平面与平面平行的判定与性质思维启迪思维升华解析【例2】如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.思维启迪思维升华解析证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；题型分类·深度剖析(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．题型二平面与平面平行的判定与性质跟踪训练2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB，题型分类·深度剖析∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.题型三平行关系的综合应用【例3】如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例3】如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维升华解析思维启迪利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值．题型分类·深度剖析题型三平行关系的综合应用【例3】如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪思维升华解析解∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH.题型分类·深度剖析题型三平行关系的综合应用∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，∴截面EFGH是平行四边形．设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)．【例3】如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？题型分类·深度剖析题型三平行关系的综合应用又设FG＝x，GH＝y，则由平面几何知识可得xa＝CGBC，yb＝BGBC，两式相加得xa＋yb＝1，即y＝ba(a－x)，思维启迪思维升华解析∴S▱EFGH＝FG·GH·sinα＝x·ba·(a－x)·sinα＝bsinαax(a－x)．∵x0，a－x0且x＋(a－x)＝a为定值，【例3】如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？题型分类·深度剖析题型三平行关系的综合应用∴当且仅当x＝a－x时，bsinαax(a－x)＝absinα4，此时x＝a2，y＝b2.即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大．思维启迪思维升华解析【例3】如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪思维升华解析利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．题型分类·深度剖析题型三平行关系的综合应用跟踪训练3如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.题型分类·深度剖析解在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，∴四边形FEGA为平行四边形，∴FE∥AG.又AG平面PAD，FE平面PAD，∴EF∥平面PAD.∴F即为所求的点．跟踪训练3如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.题型分类·深度剖析又PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥面PAB.∴PB⊥BC.∴PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2.设PA＝x则PC＝2a2＋x2，由PB·BC＝BE·PC得：a2＋x2·a＝2a2＋x2·63a，∴x＝a，即PA＝a，∴PC＝3a.跟踪训练3如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.题型分类·深度剖析又CE＝a2－63a2＝33a，∴PEPC＝23，∴GECD＝PEPC＝23，即GE＝23CD＝23a，∴AF＝23a.典例：(12分)如图，在四面体PABC中，